Rappel comportement ondulatoire classique

Avant d'aborder la lumière, il est utile pour la suite de présenter brièvement des généralités sur les ondes classiques.

Généralités sur les ondes¶

Une onde est une vibration se propageant de proche en proche. La grandeur qui vibre peut être de différentes natures :

• une pression,

• une déformation,

• un champ électrique,

• un champ magnétique...

Les ondes ont besoin d'un support matériel (gaz, solide, liquide) hormis les ondes électromagnétiques. Ces dernières peuvent se propager dans le vide. La lumière, les ondes "radios", les rayons X sont des ondes électromagnétiques, qui comme leur nom l'indique, sont formées par la combinaison de deux champs oscillants l’un électrique et l’autre magnétique. Lorsque ces ondes se propagent dans un milieu, elles perturbent l'ordonnancement des charges électriques élémentaires (électrons, noyaux...).

La vibration est caractérisée par une direction portée par $\overrightarrow{u}$, une amplitude $a$ et une pulsation $\omega$ imposée par la source.

Un point $M$ de l'espace (ou du milieu) sera le siège d'une modification temporaire de même nature que celle provoquée au point source $S$ mais avec un certain retard $\theta$ dans le temps. Si $d$ sépare $S$ de $M$, ce retard est tel que :

La propagation est caractérisée par la vitesse $\overrightarrow{c}$ de l'onde dont la norme $c$, appelée vitesse de phase, dépend du milieu traversé. La célérité est constante pour une onde donnée et pour un milieu homogène donné. Si le milieu est isotrope , la célérité est la même dans toutes les directions issues de $S$. A titre d’exemple, la propagation d’une onde sinusoïdale dans une direction donnée se traduit par une translation de la sinusoïde à la vitesse qui est précisément la célérité.

Une onde longitudinale est telle que la vibration et la propagation ont la même direction. A titre d'exemple, citons les ondes acoustiques dans les gaz ainsi que les ondes de pression dans les liquides et les solides.

Une onde transversale est telle que les directions de vibration et de propagation sont perpendiculaires. La corde vibrante, les ondes de déformations dans les solides et les ondes électromagnétiques dans le vide illustrent ce type d'onde.

Hormis pour les ondes longitudinales, les directions de propagation et de vibrations définissent un plan appelé plan de polarisation .

Onde plane¶

Une onde monochromatique (1 seule fréquence) est l’onde progressive périodique la plus simple. Elle possède par définition une double périodicité spatiale et temporelle. Une sinusoïde possédant de telles propriétés, on peut représenter une vibration monochromatique sous la forme (2):

où $a$ est l'amplitude maximum de vibration, $\overrightarrow{k}$ le vecteur d'onde, $\overrightarrow{r}$ le vecteur position où la vibration est observée et $\omega$ la pulsation. $\left( \overrightarrow{k}.\overrightarrow{r} - \omega t \right)$ la phase de l'onde.

L'ensemble des points de l'espace pour lesquels la phase est constante à un instant donné forme une surface d'onde ou front d'onde . On peut déterminer une surface d'onde en cherchant l'ensemble des points $M$ pour lesquels $\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}$ a une valeur constante à $t$ donné.

Prenons un point $M_{1}$ de l’espace dont la position est telle que :

Si on impose $M_{1}$ de telle manière que la phase soit la même que pour le point $M$, on obtient :

Les points $M$ et $M_{1}$ emplissant la condition (5) se trouvent dans un plan perpendiculaire à $\vec{k}$.

Si on fait coïncider l'axe $Ox$ avec la direction de $\overrightarrow{k}$, on a $k_{y} = k_{z} = 0$ et $k_{x} = k$. La fonction (2) s'écrit alors :

et les surfaces d'onde sont les plans perpendiculaires à $Ox$ :

Les relations (2) et (6) définissent une onde plane.

La plus petite distance $\lambda$ telle que :

à chaque instant s'appelle la longueur d'onde . C'est donc la distance entre deux fronts d'onde successifs de même phase. La condition (7) est satisfaite si le remplacement de $x$ par $x + \lambda$ conduit à un changement de phase de $2\pi$.

A partir de (6), on trouve :

Le plus petit intervalle de temps $Τ$ telle que :

en chaque point de l'espace s'appelle la période . La période est bien le temps au bout duquel l'état de vibration se reproduit identiquement en un point de l'espace. La condition (9) est satisfaite si le remplacement de $t$ par $t + T$ conduit à un changement de phase de $- 2\pi$.

A partir de (6), on trouve :

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Ainsi, (6) conduit à :

La fréquence est le nombre de fois par seconde qu’en un point donné de l’espace, l’état de vibration se reproduit identiquement. C’est donc la valeur inverse de la période :

Si d'autre part, l’observateur photographie à un instant donné l'onde, il observera que les propriétés du milieu varient de manière sinusoïdale en fonction de la position. Cela met en évidence la périodicité spatiale qu’est la longueur d'onde $\lambda$. C’est donc la distance entre deux fronts d’onde successifs de même phase.

Au fur et à mesure que le temps s'écoule, la phase de l'onde varie en un point donné de l’espace. Si un observateur voulait se trouver à chaque instant en un point tel que la phase soit constante (sur une crête par exemple), il devrait se déplacer à une vitesse qui est par définition la vitesse de phase de l'onde.

Pour obtenir la vitesse de phase ou célérité, il suffit de mesurer la distance élémentaire $dx$ séparant deux points de l'espace présentant la même phase et le temps nécessaire $dt$ pris par l'onde pour parcourir cette distance. La phase étant constante, cela revient à affirmer que la différentielle de la phase est nulle soit :

soit :

d'où :

Ce résultat signifie que l'onde se déplace dans le sens positif de l'axe $Ox$.

La fonction :

représente donc une onde se déplaçant dans le sens négatif de l'axe $Ox$ à une vitesse :

Cette relation donnant la vitesse de phase reste la même quel que soit le milieu pour l’onde monochromatique (6).

Si l’observateur avait pris deux clichés à des instants très rapprochés, il verrait que la sinusoïde s’est déplacée à la vitesse de phase.

Une onde monochromatique (6) est donc caractérisée par une pulsation $\omega$ et par un nombre $k$ module du vecteur d'onde que l’on nomme nombre d’onde nombre d’onde. D’après la relation (8), $k$ est le nombre de longueurs d’onde contenues dans une distance de $2\pi$ (période de la fonction sinusoïdale). Son unité est le radian par mètre et sa dimension l'inversion d'une longueur ($L^{- 1}$).

La pulsation $\omega$ et le nombre d’onde $k$ sont liés par une relation appelé

Pour des ondes électromagnétiques (OEM) traversant le vide, il sera démontré (en électromagnétisme) à partir de l’équation de propagation que la relation de dispersion est :

où $c$ est la vitesse de phase de l’onde dans le vide connue sous le nom de vitesse de la lumière (dans le vide) $c \approx 3 10^{8}$ m/s.

La relation de dispersion (17) indique que la pulsation est une fonction linéaire du nombre d’onde.

D’après (14), la vitesse de phase est donnée par $v_{\varphi} = \frac{\omega}{k}$, on montre que la vitesse de phase ne dépend pas de la pulsation pour les OEM. On dit alors que le milieu est non dispersif.

Le vide n’est donc pas un milieu dispersif, la vitesse de la lumière ne dépendant pas de la couleur. De même l’air ambiant peut être assimilé à un milieu non pour les ondes acoustiques (la note de la contrebasse parvient à l’auditeur en même temps que le coup de cymbale pour peu que les instruments aient été sollicités au même instant).

Dans un milieu transparent, la vitesse de phase des ondes électromagnétiques est diminuée d’une quantité quantifiée par l’indice de réfraction du milieu dont on peut montrer qu’il dépend de la pulsation :

Un milieu est dit dispersif si l’indice du milieu dépend de la pulsation de l’onde.

Le verre est un milieu dispersif dont l’indice augmente lorsque la longueur d’onde diminue. Cette conséquence est une réfraction différente pour des longueurs d’onde différentes (prisme).

Pour les vagues en eau profonde, la relation de dispersion est donnée par :

ce qui conduit à une vitesse de phase dépendant du nombre d’onde :

Le milieu est dispersif.

Une onde qui résulte de la somme d’ondes monochromatiques de pulsation et de longueurs d’onde différentes se propagera dans un milieu dispersif avec une déformation puisque les composantes monochromatiques se dispersent.

Plus généralement, tout phénomène périodique continu non sinusoïdal peut être représenté par une somme discrète de fonctions sinusoïdales (série de Fourier série de fourier). En outre, toute fonction continue peut se décomposer en une somme continue (intégrale) de fonctions sinusoïdales (transformée de Fourier transformée de fourier).

Dans certaines applications, il est commode d'utiliser la représentation complexe de l'onde :

(les propriétés des fonctions exponentielles simplifient les calculs) sous la forme :

où $\widetilde{a}$ est l'amplitude complexe.

Le phénomène est alors représenté par la partie réelle de la forme (23).

Onde sphérique¶

Une source ponctuelle située en $r = 0$ produit une onde sphérique représentée par :

Son amplitude décroît lorsque $r$ augmente. La surface d'onde correspond à la condition $r = const$ à un instant donné. C'est donc une sphère de rayon $r$. Les fronts d’onde sont donc des surfaces sphériques concentriques à la source de l’onde placée en $r = 0$.

La vitesse de phase est alors donnée par :

De nombreuses grandeurs physiques comme les champs électrique et magnétique sont des grandeurs vectorielles. On les décrit alors par une onde vectorielle dont l’expression est donnée :

où $\overrightarrow{a}$ en plus de l’amplitude de l’onde $\left| \overrightarrow{a} \right|$ indique la direction de l’élongation.

Principe de superposition¶

Le principe de superposition s’applique pour des ondes linéaires c’est à dire des ondes de petites amplitudes dont la vitesse de propagation est indépendante de l’amplitude (les ondes de chocs, les ondes acoustiques à grandes amplitudes sollicitent des propriétés non linéaires des milieux et matériaux qu’elles traversent).

L’amplitude des oscillations en un point $\overrightarrow{r}$ à l’instant t est la somme des amplitudes des ondes individuelles produites par les sources environnantes.

D'après ce principe, lorsque deux sources produisent des vibrations de petites amplitudes, la vibration résultante reçue en un point de l'espace est la somme des vibrations produites par chaque source.

Considérons deux sources identiques synchrones sources synchrones (donc corrélées) c'est à dire vibrant en phase avec la même pulsation. Un observateur se trouvant à égales distances des deux sources reçoit à chaque instant des vibrations en phase. Par contre si les deux sources ne sont pas à la même distance de l'observateur, il existe un déphasage entre les vibrations reçues qui provient du fait qu'elles n'ont pas parcouru la même distance pour atteindre l'observateur.

Dans le cas d'ondes longitudinales se propageant selon le même axe, le principe de superposition revient à additionner algébriquement les deux vibrations.

Pour les ondes transverses dont les directions de vibrations sont $\overrightarrow{\mu_{1}}$ et $\overrightarrow{\mu_{2}}$ , il faut faire l'addition vectorielle. Lorsque $\overrightarrow{\mu_{1}}$ et $\overrightarrow{\mu_{2}}$ ont la même direction, la vibration résultante est la somme algébrique des vibrations.

Energie transportée par une onde¶

Une onde est un phénomène de propagation d’énergie et d’impulsion produites par la source et non un phénomène de propagation de matière.

Le calcul de l'énergie dépend de la nature du phénomène ondulatoire.

Prenons comme exemple le cas de la lumière.

La puissance électromagnétique est un flux d’énergie électromagnétique.

Cette puissance peut être répartie selon des surfaces d’onde différente. Une source lumineuse telle qu’une ampoule va rayonner dans toutes les directions et la puissance se répartit sur des sphères centrées sur l’ampoule dont le rayon devient de plus en plus grand au cours de la propagation. Pour une propagation se faisant suivant un faisceau parallèle (laser), la puissance est répartie uniformément sur toute section perpendiculaire du faisceau.

Si le milieu traversé est non dissipatif non dissipatif (pas d’atténuation de l’onde), la puissance totale est conservée. Ainsi pour une onde sphérique la puissance par unité de surface diminue au fur et à mesure que la sphère s’éloigne de la source. Pour le faisceau dont l’étendue est supposée constante, la puissance moyenne surfacique est la même partout dans le faisceau.

Pour exprimer cette puissance, on définit un élément de surface orienté $d\overrightarrow{s} = ds \overrightarrow{n}$ autour du point M.

Par définition la puissance électromagnétique instantanée $dw$ qui traverse $d\overrightarrow{s}$ est le flux du vecteur de Poynting $\overrightarrow{P}$ :

conduisant à l'intensité ^[1] instantanée ou densité de flux d’énergie surfacique $dw/ds$ électromagnétique.

Les phénomènes lumineux sont observés par le biais d’un récepteur (écran+œil, œil, photodétecteur...) emmagasinant l'énergie pendant un temps donné que l’on nomme temps de réponse (typiquement le temps de réponse de l’œil est de 0.1 s et une photodiode de l’ordre de 10^-6 s.

La période de l’onde du visible se situe dans la gamme de la femto seconde : $10^{- 15}$ s). Le temps de réponse quel que soit le récepteur évoqué ci-dessus est grand par rapport à la période de l’onde. Cela implique que le récepteur mesure une valeur moyenne sur le temps d'acquisition de l'intensité instantanée.

Ainsi :

On peut montrer pour une onde monochromatique :

L’intensité électromagnétique moyennée $I$ est proportionnelle la valeur moyenne sur une période du carré de l’amplitude lumineuse selon :

où $a(t)$ désigne l’amplitude lumineuse à ne pas confondre avec l’amplitude maximale de l’onde, k un facteur de proportionnalité.

En outre ce récepteur est caractérisé par une surface d’acquisition. Ainsi la mesure produite par le récepteur est proportionnelle à l’intensité électromagnétique $I$.

Comme on ne s’intéresse qu’à des intensités relatives, on prend $k = 2$.

Ainsi le calcul des intensités pourra être exprimé simplement sous forme complexe.

On suppose qu’une source lumineuse monochromatique (1 seule couleur) produit une onde d’amplitude $a(t) = a_{0}\cos(\omega t + \varphi)$ en un point $M$ de l’espace. L’intensité moyennée vaut alors :

car la moyenne temporelle de $\cos(\omega t + \varphi)$ vaut $\frac{1}{2}$. On associe à $a(t)$ sa forme complexe $\widetilde{a}(t)$ telle que :

Alors l’intensité peut être calculée pour une onde progressive plane monochromatique en utilisant la représentation complexe de l’amplitude comme :

où ${\widetilde{a}(t)}^{*}$ désigne le complexe conjugué de la grandeur complexe $\widetilde{a}(t)$.

Remarque

Interférences¶

Les interférences désignent les phénomènes qui se manifestent lors de la superposition de deux ou plusieurs ondes différentes. Elles sont observables lorsque les ondes superposées sont cohérentes `.

La cohérence revêt deux aspects. On parle de cohérence spatiale spatiale et de cohérence temporelle. Elles sont plus largement présentées en annexe du chapitre ou en optique ondulatoire en L3.

La cohérence temporelle est caractérisée par l'aptitude d'une onde à interférer avec une partie retardée d'elle-même. Le temps de cohérence est la durée pendant laquelle la phase de l'onde est prévisible (on peut dire que l'onde est sinusoïdale). La longueur de propagation de l'onde durant une telle durée est appelée longueur de cohérence.

Une interférence est observable si le retard est inférieur au temps de cohérence qui une caractéristique de la source lumineuse.

Un laser est une source lumineuse possédant une longueur de cohérence importante. Cela peut varier de l'ordre de la dizaine de centimètre (laser hélium néon) à plusieurs kilomètres pour certaines sources laser.

Une ampoule à filament, la lumière naturelle sont caractérisée par un temps de cohérence caractéristique de la durée des trains d'onde trains d’onde. En effet la lumière est émise par chaque atome sous forme d'une succession de trains d'onde d'une durée qui avoisine la dizaine de nanoseconde. Plus précisément, un atome constituant de la matière lorsqu’il se trouve dans un état excité ^[2], peut revenir dans son état fondamental (état de plus basse énergie) en émettant un photon dont l’énergie est égale rigoureusement à la différence d’énergie entre l’état excité et l’état fondamental de l’atome. Il s’agit de l’émission spontanée `. Ce photon est caractérisé par un train d'onde dont la longueur spatiale est liée à la durée mise par l’atome pour passer d’un état excité à un état désexcité. Chaque émission atomique est constituée d’un train d’onde quasi monochromatique (mais pas strictement : effet Doppler notamment) dont on pourrait considérer qu’il est polarisé rectilignement possédant une amplitude et une phase initiale donnée. En réalité un train d’onde ne présente pas de polarisation. En outre, il existe un élargissement spectrale appelé élargissement de Lorentz qui est la conséquence de la durée de vue limité d’un état excité produisant une incertitude sur l’énergie de l’état en vertu de la relation d’incertitude d’Heisenberg.

La cohérence spatiale est caractérisée par la distance entre deux points d'une onde pour laquelle l'onde peut interférer avec une partie déplacée d'elle-même.

L'expérience de Young¶

Young émet l'idée d'utiliser comme sources deux points d'une même surface d'onde sur la constatation qu'il est impossible de synchroniser deux sources indépendantes vibrant à une fréquence aussi élevée que celle de la lumière visible Young (1804). Deux points d'une même surface d'onde peuvent être considérés comme des sources ponctuelles synchrones d'après le principe de Huygens-Fresnel traité en annexe. Cette expérience, réalisée pour la première fois au début du XIXème siècle, a mis en évidence un phénomène absolument inexplicable dans le cadre du modèle géométrique.

L’expérience originelle d’Young fut publiée en 1803. Elle fut réalisée avec la lumière du soleil. Il perça un trou dans un volet occultant d’une fenêtre d’une pièce plongée dans le noir. Il disposa une feuille épaisse opaque derrière le volet et y perça un trou au moyen d’une aiguille assurant l’obtention d’une aire de cohérence. Le faisceau de lumière de soleil issu de ce trou fut filtré par réduire sa largeur spectrale (et tendre vers une lumière monochromatique) réfléchi avec un miroir et séparé en deux au moyen d’une carte de papier dont l’épaisseur est inférieure à la section du faisceau. En interposant un écran que l’on pouvait déplacer sur le trajet du faisceau séparé, Young put observer des images d’interférence.

Dans ces figures d’interférences Figure 3, on pouvait observer des franges claires et sombres manifestant d’un phénomène d’interférences. En outre, de part et d’autre du maximum d’intensité apparaissait une séparation de couleur due à la superposition d’image d’interférences dont les distances interfrange étaient différentes puisque dépendantes de la fréquence et donc de la couleur.

Afin de comprendre le principe de calcul d’interférences, on considère deux sources ponctuelles $S_{1}$ et $S_{2}$ (appartenant à une même surface d'onde) séparées d'une distance $d$ sur l'axe $Oy$ émettent chacune une vibration sphérique sinusoïdale se propageant à la vitesse $c$ dans l'espace délimité par $x > 0$.

La vibration notée $f_{M}(t)$ reçue en un point $M$ très éloigné des sources $S_{1}$ et $S_{2}$ de vecteur de position $\overrightarrow{r}$ à l'instant $t$ est la superposition de deux ondes sphériques l’une produite par la source $S_{1}$ distante de $r_{1} = \left| \overrightarrow{r} - \frac{d}{2}\overrightarrow{e_{y}} \right|$ du point $M$ à l’instant $\left( t - \frac{r_{1}}{c} \right)$ et l’autre produite par la $S_{2}$ source distante de $r_{2} = \left| \overrightarrow{r} + \frac{d}{2}\overrightarrow{e_{y}} \right|$ du point $M$ à l’instant $\left( t - \frac{r_{2}}{c} \right)$. Si les sources sont synchrones (même fréquence et pas de déphasage), elles sont cohérentes :

Ce qui équivaut aussi à :

On suppose que les deux sources produisent des vibrations de même amplitude $b_{1} = b_{2}$ et que la séparation entre les sources est petite devant l'éloignement ($r_{1},\; r_{2} > > d$).

La différence d'éloignement $\left( r_{2} - r_{1} \right)$ appelée différence de marche dépend de la direction d'observation. Elle est nulle si $M$ coïncide avec $Ox$ et vaut $d$ si $M$ coïncide avec $Oy$. Pour toute autre direction d'observation, la différence de marche est comprise entre 0 et $d$.

En raison de la différence d'éloignement de $S_{1}$ et $S_{2}$, les amplitudes des vibrations reçues en $M$ ne sont pas rigoureusement égales en particulier dans le cas le plus défavorable où la différence d’éloignement est maximale et égale à $d$. Dans ce cas précis, $r_{2}$ est lié à $r_{1}$ par la relation :

Or la détection se fait au point $M$ à grande distance telles que $r_{2},r_{1} \gg d$. A l’approximation des grandes distances (d négligé devant ${r_{1}}^{2}$), on a en utilisant le développement limité de $1/(1 + x)$ avec $x \rightarrow 0$ :

De telle manière que :

Cette conclusion se vérifie à plus forte raison pour toutes les autres directions d'observation.

Dans l'approximation des grandes distances (par rapport à $d$), les ondes sphériques sont assimilables à des ondes planes et le seul effet de la différence de marche est de déphaser l'une par rapport à l'autre les vibrations reçues en M (addition algébrique des deux vibrations ayant même direction).

L'intensité étant la valeur moyenne sur une période du carré de la vibration résultante :

Si on utilise la représentation complexe des amplitudes, l’amplitude résultante ${\widetilde{f}}_{M}(t)$ d’après le principe de superposition est la somme des amplitudes complexes $a_{0}e^{j(\omega t + \varphi_{1})}$ et ${a}_{0}e^{j(\omega t + \varphi_{2})}$ avec $\varphi_{i} = - \omega\frac{r_{i}}{c}$.

L’intensité au point $M$ étant donnée par $I = {\widetilde{f}}_{M}(t) {{\widetilde{f}}_{M}(t)}^{*}$, on calcule :

Soit :

Ou encore :

On a donc :

$I$ atteint son maximum lorsque $\cos k\left( r_{2} - r_{1} \right) = 1$ c'est à dire lorsque :

avec $n = 0,\; 1,\; 2,\; 3...$

soit :

La différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde. On dit alors que l'interférence est constructive.

La puissance reçue est nulle lorsque $\cos k\left( r_{2} - r_{1} \right) = - 1$ soit :

Lorsque la différence de marche est un nombre entier impair de demi-longueur d'onde, on dit alors que l'interférence est destructive.

Annexe : la cohérence¶

Les interférences désignent les phénomènes qui se manifestent lors de la superposition de deux ou plusieurs ondes différentes. Elles sont observables lorsque les ondes superposées sont cohérentes `.

S’il s’agit de lumière, les ondes émises par la matière possèdent une nature électromagnétique. Plus précisément, un atome constituant de la matière lorsqu’il se trouve dans un état excité ^[3], peut revenir dans son état fondamental (état de plus basse énergie) en émettant un photon dont l’énergie est égale rigoureusement à la différence d’énergie entre l’état excité et l’état fondamental de l’atome. Il s’agit de l’émission spontanée `. Cette dernière possède un caractère temporel aléatoire. Dans un milieu où règne une grande agitation atomique (soleil, filament d’une ampoule), un atome réalise ces transitions près de 100 millions de fois par seconde.

Les photons émis par les atomes d’une source lumineuse ordinaire correspondent à des radiations d’une durée très courte (typiquement $\tau = 10^{- 10}$ s dans le cas de la lumière naturelle $\tau = 10^{- 10}$ s) que l’on appelle train d’onde (signal sinusoïdale d’extension finie dans le temps) train d’onde contenant $(\tau \times c)/\lambda$ oscillations. La longueur spatiale du train d’onde est liée à la durée mise par l’atome pour passer d’un état excité à un état désexcité. Chaque émission d’un seul atome est constituée d’un train d’onde quasi monochromatique polarisé rectilignement possédant une amplitude et une phase initiale donnée.

Dans le cas de la lumière naturelle, les différents atomes constituant la source émettent une succession ininterrompue de trains d’onde de durée caractéristique $\tau_{c}$ appelée temps de cohérence temporelle qui est grand devant la période $\tau_{c} > > T$ (T de l’ordre de quelques femto seconde dans le visible). Ces trains d’onde ne possèdent pas entre eux de relation de phase, ni d’amplitude ni de direction de polarisation (variations aléatoires). La direction de polarisation, l’amplitude et la phase sont des grandeurs qui varient de manière aléatoire d’un train d’onde à un autre.

Il existe des sources lumineuses à spectres de raies et des sources à spectre continu. Les premières correspondent à des lampes à décharges. Une ampoule ou tube contient une vapeur d’un corps pur métallique (Mercure, sodium). L’application d’une différence de potentiel entre la cathode et l’anode du tube produit l’ionisation d’atome métallique. Les électrons libérés sont attirés vers l’électrode positive, l’anode. Ce flux d’électron induit par collision électron/atome soit une ionisation amplifiant le flux d’électrons soit une excitation de l’atome métallique qui peut alors émettre un photon de manière spontanée. Les raies observées sont caractéristiques du métal vaporisé.

Le soleil ou une ampoule à incandescence (filament de tungstène chauffé à très haute température) sont des sources à spectre continu.

Ceci nous amène à préciser les conditions d’interférences. Supposons que l’on superpose deux vibrations scalaires au point $M$ :

La vibration résultante en $M$ à l’instant $t$ est $a(M,t) = a_{1}(M,t) + a_{2}(M,t)$.

Les deux vibrations n’interféreront pas si :

1. les deux sources ne sont pas synchrones : $\omega_{1} \neq \omega_{2}$ ;

2. $\omega_{1} = \omega_{2}$ mais les vibrations sont issues de deux sources de lumières indépendantes du fait des phases aléatoires $\varphi_{1}(M)$ et $\varphi_{2}(M)$ ; même à supposer que les amplitudes soit les même $A_{1} = A_{2} = A_{0}$et en appliquant le principe de superposition, on montre que le calcul de l’intensité en moyennant sur une période vaut :

   $$I(M) = 2\left\langle \left( a_{1}(M,t) + a_{2}(M,t) \right)^{2} \right\rangle = 2{A_{0}}^{2}\left( {1 + cos}\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right) \right)$$

   (48)

   La valeur $\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right)$ variant aléatoirement au cours du temps, un calcul de valeur moyenne sur une durée grande devant la période (temps de réponse du détecteur) conduirait à une somme de termes $\cos\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right)$ nulle en valeur moyenne.

   Il est à noter que le calcul à partir de la formulation complexe de l’amplitude reste valide lorsque l’amplitude résulte de la superposition de deux vibrations. Ainsi, le calcul :

avec $\widetilde{a}(M,t) = {\widetilde{a}}_{1}(M,t) + {\widetilde{a}}_{2}(M,t)$ et ${\widetilde{a}}_{j}(M,t) = A_{o}e^{j\omega t}e^{j\varphi_{j}}$ conduira à un résultat identique.

On a donc en définitive :

$I(M) = {{2A}_{0}}^{2}$

soit la somme des intensités produites par chaque source.

3. les vibrations provenant d’une même source de lumière sont issues de deux trains d’onde différents (phases aléatoires) pour les mêmes raisons que ci-haut.

L’interférence est donc plus facilement mise en évidence si une seule source de lumière est utilisée. L’interférence d’un faisceau de lumière avec une partie retardée de lui-même (interféromètre de Michelson) est observable lorsque le retard est plus faible que le temps de cohérence où lorsque la différence de longueur entre les deux parcours empruntés par faisceaux est plus faible que la longueur de cohérence. On parle alors de cohérence temporelle.

Lorsque l’on fait interférer un champ lumineux avec une version déplacée spatialement de lui-même, la superposition doit s’appliquer à des vibrations (du champ) cohérentes spatialement (fentes d’Young) pour donner une figure d’interférence.

Cette cohérence spatiale implique qu’en deux points de la section du faisceau la phase est la même s’ils sont situés à égale distance de la source. Bien évidemment une source de lumière étendue spatialement ne présente pas de cohérence spatiale car les ondes émises par deux points éloignés de la source ne présentent pas le même vecteur d’onde.

Il existe une aire dite de cohérence propre à chaque source lumineuse qui garantit que pour une séparation spatiale contenue dans l’aire de cohérence, l’interférence est observable. Pour la lumière du soleil cette aire est l’ordre de $4 10^{-2} \text{mm}^2$ raison pour laquelle les interférences lumineuses ne sont pas observées dans la vie courante avec la lumière du soleil.

Un laser est une source de lumière qui offre une cohérence spatiale et temporelle.

Pour un laser, chaque train d’onde présente une cohérence temporelle autorisant la manifestation de phénomènes d’interférence.

La lumière naturelle émise par le soleil ou par une source de lumière blanche possède un spectre continu et est spatialement incohérente en l’état. C’est la raison pour laquelle il est nécessaire de faire passer la lumière du soleil dans un collimateur afin de réduire l’étendue spatiale de la source (assimilée à l’aire du trou) pour garantir une cohérence spatiale indispensable à l’observation d’interférence. La lumière possédant un spectre continu les figures d’interférence propres à chaque fréquence se superposeront comme on le verra dans le chapitre suivant.

Annexe : le principe de Huyguens-Fresnel¶

La propagation d'une onde en optique peut être décrite par le principe de Huygens- Fresnel. Ce dernier est un principe de construction des fronts d’onde lors de la propagation des ondes : chaque point de l’espace et donc d’une surface d'onde au temps peut être considéré comme une source ponctuelle.

Un point recevant une onde réémet une onde sphérique de même fréquence, même amplitude et même phase.

Donc toutes les sources d’une surface d'onde plane ∑ sont synchrones et elles produisent des ondelettes sphériques élémentaires en phase avec l'onde incidente.

Supposons qu’à $t = 0$, le maximum de l’onde passe par le plan ∑ :

• chaque point de ∑ émet une onde sphérique. Après une durée $t$ , un point situé à une

• distance $ct$ ne recevra qu’une seule onde sphérique, celle émise par le point de ∑ le

• plus proche à $t = 0$. Chaque point situé sur ce plan ∑' parallèle aura donc une même

• amplitude.

• Un point situé au-delà de ∑' possède une amplitude nulle (l’onde ne l’a pas atteint).

• Un point situé avant ∑' reçoit des ondes produites par de nombreux points de ∑ mais

• toutes ces ondes interfèrent de manière destructive car elles possèdent un déphasage

• différent.

Le plan ∑' correspond donc à la surface d'onde ∑ propagée à une vitesse $c$ durant un intervalle de temps $t$.