La lumière - Introduction à la mécanique quantique

La lumière est l’ensemble des rayonnements électromagnétiques visibles (ou proches du visible) c’est à dire susceptible d’être perçus par l’œil. Elle correspond à des phénomènes ondulatoires dont la longueur d’onde est comprise entre 380 et 780 nm (10^-9 mètre). Elle joue un rôle tout particulier en physique quantique. En effet, la description classique de la lumière (géométrique, théorie électromagnétique) fut profondément mise à mal pour des faits expérimentaux tels que le rayonnement du corps noir, l’effet photo électrique effet photo électrique et de l’effet Compton . Ces expériences furent à l’origine de la théorie des quanta de lumière. Deux d’entre-elles seront présentées.

Figure 1:Spectre des ondes électromagnétiques

La lumière mise en lumière¶

La lumière dans toutes ses manifestations observables fut certainement un des phénomènes physiques qui suscita le plus grand intérêt scientifique. Pendant près de deux siècles, deux conceptions allaient se développer et s’affronter : la théorie corpusculaire et la théorie ondulatoire.

Au cours de la première moitié du 17ème siècle, le modèle décrivant les principaux phénomènes lumineux est connu sous le nom d’optique géométrique (Kepler : propagation rectiligne de la lumière, Descartes : loi de la réfraction).

Pour Newton, la lumière était composée de particules dont les masses différentes étaient soumises à une action attractive exercée par un corps transparent sur les corpuscules de lumière qui le traverse. Le modèle de Newton imposera cette conception bien longtemps encore après sa mort survenue en 1727.

Cependant, des physiciens s’opposent aux conclusions de Newton. On peut citer Huygens qui imagine la lumière comme une vibration se transmettant de proche en proche dans un milieu l’éther, fluide matériel dont les propriétés mécaniques restaient à définir. Cette approche lui permit notamment de rendre compte de la diffraction.

Plus tard, Young et Fresnel apportèrent leurs contributions. Le premier en découvrant, en 1801, un phénomène interférentiel inédit (la fameuse expérience des fentes d’Young que nous exposerons par la suite) et en mesurant les longueurs d’ondes de la lumière. Le second en découvrant, en 1819, la nature transversale des ondes lumineuses et, grâce à celle-ci, en expliquant de façon convaincante tous les phénomènes de polarisation.

Maxwell, en 1865 puis en 1873, précisera la nature électromagnétique de cette onde. Cela faisait de la lumière un membre parmi d’autres de la grande famille des ondes électromagnétiques.

En 1905, A. Einstein bouleversera ces certitudes ondulatoires si difficilement établies. Il prédira, en effet, l’existence du corpuscule de lumière (le photon) dont la conséquence fut l’introduction du concept de dualité onde corpuscule. Cet acte sera l’une des pierres fondatrices d’une nouvelle physique, la physique quantique.

Optique géométrique et sa limite de validité¶

L’optique géométrique décrit l’interaction de la lumière avec les objets dont les dimensions sont grandes devant les longueurs d’ondes caractéristiques de cette lumière. L’optique géométrique est fondée sur le concept de rayon lumineux : ligne joignant un point de la source lumineuse à un point de l’objet éclairé dans un milieu homogène. Son fondement est contenu dans le principe de Fermat qui permet de déduire toute l’optique géométrique.

On définit le chemin optique $\Delta$ comme étant le produit du trajet géométrique $d$ d’un rayon de lumière et de l’indice de réfraction $n$ du milieu dans lequel il se propage : $\Delta = d\; n = d\;\frac{c}{v}$

Le principe Fermat stipule que le chemin optique parcouru par un rayon lumineux entre deux points quelconques $A$ et $B$ est stationnaire par comparaison avec les chemins optiques infiniment voisins ayant les mêmes extrémités. Le rayon lumineux emprunte donc le chemin dont le temps de parcours présente un extremum. Il est donc stationnaire lors d’une petite déformation de la trajectoire.

La lumière se propage d’un point à un autre sur des trajectoires telles que la durée de parcours est stationnaire (extremum).

Ce principe permet de retrouver la loi de réfraction de Snell - Descartes et permet d’expliquer la formation des images par une lentille.

Examinons la limite de validité de l’optique géométrique. Considérons pour cela un objet ponctuel placé en $O$ sur l’axe de symétrie d’une lentille convergente. Le point $I$ , image du point $O$ se trouve sur l’axe de symétrie.

Formation d'une image par une lentille — Figure 2:Formation d’une image par une lentille

Rappelons que l’image optique d’un point $O$ est le point de rencontre des rayons issus du point $O$ (image réelle) ou de leurs prolongements (image virtuelle).

Considérons un autre objet placé en $O'$ . D’après le principe de Fermat, l’image de $O'$ en un point $I'$ . Lorsque $O'$ se déplace vers $O$ son image $I'$ se déplace vers $I$ et la différence de temps de parcours $t_{1} - t_{2} = \frac{d_{1} - d_{2}}{c}$ entre les trajets $d_{1}$ et $d_{2}$ passant par les extrémités de la lentille tend vers zéro.

Cependant, d’après l’optique géométrique deux points d’un objet ont des images distinctes quelle que soit leur séparation.

Or l’optique géométrique est une approximation de l’optique ondulatoire valide dans la limite des courtes longueurs d’onde, c’est-à-dire dans la mesure où la longueur d’onde est petite devant toute distance caractéristique intervenant dans une expérience (largeur de la fente d’un collimateur, distance sur laquelle la variation d’un indice de réfraction est appréciable).

Revenons à notre problème : lorsque $\delta$ devient petit, la différence entre les temps de parcours $t_{1} - t_{2}$ entre les trajets $d_{1}$ et $d_{2}$ devient comparable à la période de l’onde. L’optique géométrique n’est plus valide et les images se superposent obtenant une image floue. On dit que le pouvoir séparateur d’une lentille est limité par la nature ondulatoire de la lumière.

Cherchons la plus petite distance entre deux points de l’objet qui ont des images distinctes. Pour cela on impose que la différence entre les temps des parcours $d_{1}$ et $d_{2}$ est égale à la période $T$ de l’onde.

${d_{2}}^{2} = p^{2} + {(\frac{h}{2} - \delta)}^{2}$ et ${d_{1}}^{2} = p^{2} + {(\frac{h}{2} + \delta)}^{2}$ théorème de Pythagore

où $p$ est la distance entre l’objet et la lentille tandis que $h$ est la hauteur de cette dernière.

On en déduit :

{d_{1}}^{2} - {d_{2}}^{2} = 2h\delta

(1)

c’est à dire :

d_{1} - d_{2} = \frac{2h\delta}{d_{1} + d_{2}}

(2)

Puisque $\delta$ est petit devant p on peut écrire à une très bonne approximation :

d_{1} + d_{2} \cong 2d

(3)

d’où :

d_{1} - d_{2} = \frac{h\delta}{d}

(4)

En faisant intervenir l’ouverture angulaire de la lentille cette relation devient :

d_{1} - d_{2} = \frac{h}{2d} \times 2\delta

(5)

d_{1} - d_{2} = \sin(\theta/2) \times 2\delta

(6)

Si :

t_{1} - t_{2} = T

(7)

on a

d_{1} - d_{2} = \lambda

(8)

d’où on titre l’expression :

\delta = \frac{\lambda}{2\sin(\theta/2)}

(9)

Plus $\delta$ est petite, plus le pouvoir séparateur est grand. Pour l’optimiser il faut prendre $\lambda$ aussi courte que possible (mais restant dans le spectre visible) et une ouverture angulaire aussi grande que possible.

Théorie ondulatoire de la lumière¶

La physique théorique classique trouve dans la théorie de Maxwell la description la plus complète de la lumière dans le cadre du modèle ondulatoire. Toute lumière a pour source la matière qui d’une façon ou d’une autre est excitée. Nous pouvons préciser que la source ultime du rayonnement est la charge électrique accélérée.

Dans la théorie de Maxwell un faisceau lumineux est décrit par une onde électromagnétique de composantes électrique $\overrightarrow{E}$ et d’induction magnétique $\overrightarrow{B}$ .

Champs d'induction magnétique et électrique du rayonnement — Figure 3:Champ d’induction magnétique et électrique du rayonnement

Selon cette théorie le champ électrique et le champ d’induction magnétique oscillent de telle manière qu’en un point donné de l’espace les champs électrique et magnétique sont des fonctions sinusoïdales du temps. Ils sont mutuellement perpendiculaires et en phase Figure 3. La direction de propagation $\overrightarrow{k}$ est perpendiculaire à ces deux champs de telle manière qu’en chaque point et à chaque instant :

\overrightarrow{B}\overrightarrow{.k} = \overrightarrow{E}\overrightarrow{.k} = 0

(10)

Une source ponctuelle émet de façon isotrope dans un milieu homogène des ondes lumineuses sphériques. On peut utiliser des lentilles de verre en forme de calotte pour transformer les ondes sphériques en ondes planes.

Les champs électrique et magnétique oscillants $\overrightarrow{E}\left( \overrightarrow{r,t} \right)$ et $\overrightarrow{B}\left( \overrightarrow{r,t} \right)$ sont des fonctions sinusoïdes de la seule variable ou phase : $\left( \overrightarrow{k}\overrightarrow{.r} - \omega t \right)$

L’induction magnétique $\overrightarrow{B}$ et le champ électrique $\overrightarrow{E}$ sont liés par l’équation :

\overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{n}}{c} \land \overrightarrow{E}

(11)

soit :

\overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{k}}{\omega} \land \overrightarrow{E}

(12)

avec $\overrightarrow{k} = k\overrightarrow{n}$

Leurs amplitudes sont donc proportionnelles puisque :

B_{0} = \frac{E_{0}}{c}

(13)

où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

La densité d’énergie volumique est définie comme étant la quantité d’énergie rayonnée par unité de volume (mesurée en joule/m^{\1}).

Elle comprend une contribution de nature électrique et une autre de nature magnétique. Ces contributions sont données respectivement par :

${\frac{1}{2}\varepsilon}_{0}{E_{0}}^{2}$ et $\frac{1}{2}\frac{{B_{0}}^{2}}{\mu_{0}}$

$\varepsilon_{0} = 8.85415\; 10^{- 12}\; Fm^{- 1}$ (Faraday) étant la permittivité et $\mu_{0} = 4\pi\; 10^{- 7}\; Hm^{- 1}$ la perméabilité du vide. Puisque ces constantes sont liées par la condition $\varepsilon_{0}\mu_{0}c^{2} = 1$ , les densités d’énergie électrique et d’énergie magnétique sont égales.

La théorie ondulatoire et la formation des images¶

L’interprétation de l’expérience de Young rejette le modèle géométrique comme modèle acceptable pour décrire la lumière. Cette expérience prouve que la nature ondulatoire de la lumière est incontestable. Cependant, le modèle ondulatoire doit être en mesure d’expliquer les phénomènes lumineux dont l’optique géométrique rendait compte avec succès. C’est le cas de la formation d’une image d’un objet ponctuel par une lentille convergente.

L’objet ponctuel produit des ondes sphériques divergentes. Les surfaces d’onde sont perpendiculaires aux rayons. En pénétrant dans la lentille la vitesse diminue et la surface d’onde s’en trouve déformée. La partie centrale est davantage retardée que les parties latérales du fait d’un plus grand parcours dans le milieu transparent. La forme de la lentille est telle que la courbure de la surface d’onde se trouve inversée. Après la traversée de la lentille, les ondes sont donc transformées en ondes sphériques convergentes. La surface d’onde est encore perpendiculaire aux rayons mais son rayon de courbure est de plus en plus petit. La position de l’image est le centre de courbure de cette onde sphérique convergente.

Introduction animée à la polarisation¶

D’après la théorie de Maxwell, la lumière est une onde électromagnétique transversale. Le champ électrique et le champ magnétique sont perpendiculaires à la direction de propagation. Par définition, le plan de polarisation contient la direction de propagation et celle du champ électrique. Il ne faut pas confondre avec la surface d’onde.

Une onde est non polarisée si $\overrightarrow{E}$ a une direction qui varie aléatoirement dans le plan perpendiculaire à $\overrightarrow{k}$ . Ce plan est appelé plan d’onde. C’est le cas de la lumière naturelle.

Une onde est dite polarisée rectilignement si $\overrightarrow{E}$ possède une direction bien définie dans le plan d’onde.

Prenons le cas le plus simple d’une onde dont la direction de propagation est $Oz$ orientée vers les $x$ positifs.

L’état de polarisation le plus général peut être formulé :

\overrightarrow{E_{x}} = E_{0x}\overrightarrow{\varepsilon_{x}}\cos{(kz - \omega t)}

(14)

\overrightarrow{E_{y}} = E_{0y}\overrightarrow{\varepsilon_{y}}\cos{(kz - \omega t + \varphi)}

(15)

$E_{0x}$ , $E_{0y}$ et $\varphi$ sont des nombres indépendants du temps.

Les composantes $E_{x}$ et $E_{y}$ oscillent avec une fréquence identique mais possèdent des amplitudes et des phases différentes.

Le vecteur $\overrightarrow{E}$ décrit dans le plan $xOy$ une ellipse dont la forme (excentricité e et l’orientation angle $\alpha$ ) définissent complètement la polarisation du faisceau lumineux.

Si $\varphi = 0$ $(2\pi)$

On a :

\overrightarrow{E} = \left( E_{0x}\overrightarrow{\varepsilon_{x}} + E_{0y}\overrightarrow{\varepsilon_{y}} \right)\cos{(kz - \omega t)}

(16)

On définit donc le vecteur polarisation :

\overrightarrow{\varepsilon} = \left( E_{0x}\overrightarrow{\varepsilon_{x}} + E_{0y}\overrightarrow{\varepsilon_{y}} \right)/\sqrt{{E_{0x}}^{2} + {E_{0y}}^{2}}

(17)

dont la direction $\theta$ représentant l’angle entre la direction de $\overrightarrow{E}$ et l’axe $Ox$ reste constante.

\tan{(\theta) = \frac{E_{y}}{E_{x}}} = \frac{E_{0y}}{E_{0x}}

(18)

Ainsi l’orientation du plan de polarisation est constante lorsque $\varphi = 0$ . Dans ce cas la polarisation de la lumière est dite rectiligne ou linéaire.

Lorsque $E_{0x} = 0$ , la lumière est polarisée suivant $Oy$ et vice-versa.

Dans le cas le plus général la polarisation de l’onde est une combinaison linéaire de ces deux états de polarisation élémentaires.

Considérons le cas où $E_{0x} = E_{0y} = E_{0}$ et $\varphi = \pm \frac{\pi}{2}$ . On a alors :

\overrightarrow{E_{y}} = E_{0}\overrightarrow{\varepsilon_{y}}\cos{\left( kz - \omega t \pm \frac{\pi}{2} \right) = \mp}E_{0}\overrightarrow{\varepsilon_{y}}\sin(kz - \omega t)

(19)

Ainsi :

\overrightarrow{E} = E_{0}\left( \overrightarrow{\varepsilon_{x}}\cos(kz - \omega t) \mp \overrightarrow{\varepsilon_{y}}\sin(kz - \omega t) \right)

(20)

La norme du champ électrique est donc constante puisque $\overrightarrow{\varepsilon}$ est un vecteur unitaire.

Par ailleurs la direction du champ électrique varie en fonction de la position et du temps. En effet :

\tan{(\theta) = \frac{E_{y}}{E_{x}}} = \mp \tan(kz - \omega t)

(21)

Pour un observateur placé en un point de l’axe $\text{Oz}$ , par exemple en $z = 0$ , l’équation (21) devient :

\tan{(\theta) =} \pm \tan(\omega t)

(22)

La direction du champ électrique par rapport à $\text{Ox}$ est donnée par $\theta = \omega t$ lorsque $\varphi = \frac{\pi}{2}$ et par $\theta = - \omega t$ lorsque $\varphi = - \frac{\pi}{2}$ .

Dans le premier cas un observateur regardant vers la source perçoit un champ électrique tournant dans le sens anti-horaire. La polarisation de l’onde est dite circulaire gauche (Figure 7).

Dans le second cas il s’agit de polarisation circulaire droite.

Les états de polarisation sont illustrés dans la vidéo ci-dessous :

Un polariseur est un appareil qui produit à sa sortie une onde de polarisation bien définie quelle que soit l’onde incidente. Il existe des polariseurs linéaires qui donnent à la sortie une lumière de polarisation rectiligne et des polariseurs circulaires qui donnent une lumière de polarisation circulaire (gauche ou droite).

En 1887, Hertz réussit à produire et à détecter des ondes électromagnétiques en étudiant la propagation d’ondes électromagnétiques qui font passer l’énergie d’un circuit électrique à un autre sans l’aide d’un fil conducteur. Il confirme ainsi l’hypothèse de Maxwell.

Le rayonnement du corps noir¶

Le terme "rayonnement" se rapporte aux ondes électromagnétiques prévues par la théorie de Maxwell décrites brièvement ci-dessus. L’expérience a montré que tout corps porté à une certaine température rayonne de l’énergie sous forme de rayonnement électromagnétique.

L’émission est un phénomène dans lequel un corps porté à une température supérieure au zéro absolu (-273.15 °c) convertit une partie de son énergie interne (microscopique) en émettant des rayonnements électromagnétiques continûment distribués sur toutes les fréquences.

Lorsque le corps est blanc, son maximum d’émission est situé à peu près vers le milieu du spectre visible, toutes les longueurs d’onde (couleurs) étant représentées presque à égalité d’où la lumière blanche. Il paraît évident que le maximum d’intensité se déplace vers les courtes longueurs d’onde lorsque la température du corps augmente. Le rayonnement émis par un corps révèle l’agitation chaotique des particules chargées accélérées que le corps contient.

L’absorption c’est l’opération inverse. Quand la surface d’un corps reçoit un flux d’énergie ^[25], la fraction absorbée est transformée en énergie interne. Si un corps est en équilibre thermique avec son environnement sa température est constante. Ainsi il doit émettre et absorber la même quantité d’énergie de rayonnement par unité de temps. Le rayonnement émis et absorbé dans ces conditions est appelé rayonnement thermique ou radiation thermique.

La réflexion ou diffusion se rapporte à la manière suivant laquelle le flux qui n’est pas absorbé est renvoyé. On parle de réflexion lorsque le renvoi obéit aux lois de l’optique géométrique ( $\theta_{inc} = \theta_{ref}$ ). Par contre si le renvoi se fait dans toutes les directions sans changement de fréquence (diffusion élastique) ou avec changement (diffusion inélastique), il s’agit de diffusion.

Pour étudier le rayonnement thermique d’un corps, il faut idéalement concevoir un système matériel dont la surface absorbe intégralement et uniformément toute radiation venant de l’extérieur. Dans ces conditions tout le rayonnement émis par la surface a une seule origine provenant le rayonnement thermique à l’exclusion de tout autre mode d’émission (diffusion, réflexion).

Un corps noir désigne formellement un corps absorbant intégralement la radiation incidente qu’il reçoit sans réflexion ou transmission.

Pour un observateur extérieur, le petit orifice apparaît comme une surface de corps noir car chaque radiation incidente pénétrant dans le trou est intégralement absorbée.

Ce trou apparaît noir seulement à basse température pour laquelle la plupart de l’énergie est émise à des longueurs d’onde supérieures à celles du visible (infra rouge).

En installant un spectromètre devant le petit trou Guillaume (1905), on peut étudier le rayonnement en mesurant son énergie en fonction des différentes longueurs d’onde émises.

Les premières mesures d’émittance spectrale du corps noir furent faites par Lummer Paschen (1900), Kurlbaum et Pringsheim à la fin du 19ème siècle.

Figure 9:Distribution spectrale du corps noir (ordonnée : émittance en unité arbitraire)

Les mesures montrèrent que la répartition spectrale ne dépend ni de la forme ni de la matière constituant les parois du four et qu’elle est une fonction universelle de la température et de la longueur d’onde.

Ce caractère universel tend à imposer l’implication exclusive de processus élémentaires ne dépendant que de constantes fondamentales de la physique.

En 1894, Wien a montré que la valeur de $\lambda$ qui rend maximale $R(\lambda,T)$ varie comme l’inverse de $T$ suivant la loi du déplacement de Wien (1894) :

\lambda_{\max} = \frac{b}{T} = \frac{hc}{4,9651kT}

(23)

où $b = 2.898 \times 10^{- 3}mK$ est la constante de déplacement de Wien, $h = 6.6 \times 10^{- 34}Js$ est la constante de Planck et $k = 1.3806 \times 10^{- 23}K^{- 1}$ la constante de Boltzmann.

Cela signifie que l’émission se fait vers des longueurs d’onde de plus en plus courtes lorsque la température augmente.

La théorie classique, basée sur l’énergie émise et absorbée de manière continue par les parois en équilibre thermiques fut impuissante à obtenir une formule en bon accord avec les mesures expérimentales sans cesse plus précises.

Cependant, Max Planck réussit en le 14 décembre 1900 dans un mémoire intitulé Sur la théorie de la loi de la distribution d’énergie du spectre normal Planck (1900) à obtenir une formulation théorique convenable en faisant l’hypothèse des quanta selon laquelle l’énergie n’est pas émise (ou absorbée) de manière continue par la matière, mais par paquets de quantité d’énergie $E$ dépendant de la longueur d’onde :

E = h\nu = h\frac{c}{\lambda}

(24)

où $h = 6.6 \times 10^{- 34} Js$ est la constante de Planck.

On peut enfin souligner que l’hypothèse de Planck ne portait pas sur la nature de l’énergie électromagnétique mais uniquement sur son comportement lors de l’émission ou de l’absorption par la matière sous forme de quanta d’énergie électromagnétique.

L’étude de l’effet photoélectrique (faite en TD) a conduit Einstein Einstein (1989) à faire l’hypothèse que les propriétés de quantification énoncée par Planck sont inhérentes à la nature même du rayonnement électromagnétique.

Selon Einstein, la lumière est donc constituée de quanta (ou atome de lumière), les photons, d’énergie :

E \;=\; h\;\nu \;=\; h\;\frac{c}{\lambda}\;=\; \hbar\;k\;c

(25)

où le photon est caractérisé par $c$ sa vitesse dans le vide $c = 310^{8}\; ms^{- 1}$ et sa masse nulle au repos.

La relation (25) est connu sous le nom de relation de Planck-Einstein.

L’expérience de l’effet Compton Compton (1923) (étudiée en TD) confirme l’hypothèse des quanta de lumière.

La matière comme source de lumière¶

De Thomson à Rutherofrd¶

A la fin du 19ème siècle, deux modèles d’atome avaient la faveur des scientifiques. Le modèle de Jean Perrin assimile l’atome à un système solaire miniature (modèle planétaire). La matière chargée positivement est confinée de façon quasi ponctuelle ( $10^{- 15}$ m) au centre de l’atome. Les électrons gravitent autour et sont soumis à la force électrostatique qui leur donne une trajectoire elliptique. Le modèle de Thomson (1898) connu sous le nom de "plum pudding" ou "pancake" assimilait l’atome à une sphère de rayon de l’ordre du 10ème de nanomètre dans laquelle des électrons chargés négativement et des particules plus massiques chargées positivement était distribués quasi uniformément de telle manière que les charges positives et négatives étaient en nombres égaux afin d’assurer la neutralité électrique de l’atome.

En 1908, Rutherford Rutherford (1920) tente de mesurer la distribution de la charge positive à l’intérieur de la sphère de Rutherford sur l’idée que le meilleur moyen de trouver ce qu’il y a à l’intérieur du pudding était de mettre le doigt dedans. Ainsi il bombarda des feuilles d’or (épaisseur 400 nm) de particules $\alpha$ ^[33] d’énergie de l’ordre du MeV (10⁶ eV) (noyau d’hélium $_{}^{A = 4}{He}^{2 +}$ ^[34] composé de 2 protons et de 2 neutrons chargé +2|e|) émise par une source radioactive de radon. Un détecteur à scintillation ^[35] permet de dénombrer les particules $\alpha$ déviées dans une direction $\theta$ par rapport à leur direction incidente.

Selon le modèle de Thomson, la déviation des particules $\alpha$ aurait dû être faible compte tenu de la répartition spatiale diffuse et étendu de la charge positive. Cependant, l’observation montra que la plus grande partie des projectiles traversaient la cible en ligne droite et que le restant subissait de très forte déviation. L’interprétation de ce résultat suggérait que la partie massique positive n’était pas répartie dans une sphère de rayon de l’ordre de l’angström mais était confinée dans un volume beaucoup plus petit de l’ordre $10^{- 13}$ cm. Rutherford révisa le modèle de Thomson et conforta le modèle planétaire de Perrin.

Ainsi, dans le modèle de Rutherford l’électron décrit des trajectoires circulaires ou elliptiques. Rutherford associa à chaque raie du spectre de l’atome d’hydrogène une orbite à l’électron.

Les électrons sont donc soumis à une accélération radiale dirigée vers le noyau. L’électromagnétisme prévoit que les électrons devraient émettre des radiations électromagnétiques caractéristiques des orbites dans lesquelles ils se trouvent (formule de Larmor Larmor (1897)). En émettant ces radiations, les électrons perdent au fur et à mesure de l’énergie cinétique. Il s’ensuivrait une « chute » inéluctable sur le noyau. Par ailleurs, la fréquence du rayonnement électromagnétique émis par un électron est inversement proportionnelle à la période de révolution de celui-ci. Ils devraient donc émettre un spectre continu se perdant dans les confins de l’ultraviolet. Ainsi tous les atomes devraient être instables et émettre un spectre continu.

Le modèle de Rutherford n’expliquait en rien pourquoi les électrons empruntaient certaines orbites sans en changer.

Rayonnement de l'électron sur — Figure 11:une orbite circulaire :width: 90% Rayonnement de l’électron sur une orbite circulaire

Le modèle de Bohr¶

A la fin du 19ème siècle, il était observé que les atomes absorbent et émettent de la lumière à certaines longueurs d’onde bien définies. En 1885, J. Balmer a trouvé qu’une série de longueurs d’onde émises par l’atome d’hydrogène était bien reproduite par la formule empirique :

\frac{1}{\lambda} = R\left( \frac{1}{4} - \frac{1}{n^{2}} \right) \;\;n = 3, 4 ,5\ldots

(26)

où $R = 1,097 \times 10^{7} m^{- 1}$ est la constante de Rydberg.

Cette formule est restée sans le moindre fondement théorique pendant près de 30 ans.

Pour rendre compte de la stabilité de l’atome dont le modèle de Rutherford ne pouvait rendre compte, [Bohr]wiki:Niels_Bohr() a formulé l’hypothèse Bohr (1913) qu’un atome Bohr (2011), conformément au modèle de Jean Perrin, repose sur un modèle planétaire où il existe des orbites stables (mouvement circulaire uniforme décrit par l’électron), c’est-à-dire telles que l’électron ne rayonne pas lorsqu’il s’y trouve. Ces orbites correspondent à des énergies bien définies et Bohr a supposé que lorsque l’électron passe d’une orbite à une autre il émet ou absorbe une fréquence telle que :

$h\nu= \pm \left( E_{f} - E_{i} \right)$ avec $+$ absorption $-$ : émission

Exercise 1

Montrer pourquoi le signe $+$ correspond à de l’absorption ?

Pour déterminer les fréquences possibles il faut imposer une condition de quantification du moment angulaire qui définit les orbites circulaires permises :

L = m v r = n \hbar

(27)

où $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ et $L$ est le module du moment angulaire ou moment cinétique classique donné par :

\overrightarrow{L} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{p}

(28)

où $\overrightarrow{r}$ est le vecteur position de l’électron, $\text{m}$ la masse de l’électron et $\overrightarrow{p}$ son impulsion.

Le moment angulaire est la grandeur physique qui joue un rôle analogue à la quantité de mouvement dans le cas des rotations. Il dépend du choix de l’origine. Si un système est constitué de plusieurs particules, le moment angulaire total est obtenu en additionnant ou en intégrant le moment angulaire de chacun de ses constituants.

A l’exception de ces hypothèses, Bohr a supposé que les lois de la physique classique étaient applicables à l’échelle atomique.

Orbite circulaire de l'atome de Bohr — Figure 12:Orbite circulaire de l’atome de Bohr et repère de Frenet

Exercise 2

Déterminer les dimensions de la constante $\hbar$ .

On définit le repère de Frenet formé par les vecteurs $\overrightarrow{N}$ et $\overrightarrow{T}$ et on se place dans le référentiel isolé supposé galiléen attaché au noyau supposé fixe en raison du rapport de masse entre le noyau et l’électron.

En supposant que la loi de Coulomb et la force de gravitation sont valides à l’échelle atomique, l’électron est soumis à la force de Coulomb centripète ${\overrightarrow{F}}_{c}$ et à l’attraction gravitationnelle exercée par le proton sur l’électron :

{\overrightarrow{F}}_{G} = G\frac{M_{p}m_{e}}{r^{2}}\overrightarrow{N}

(29)

où $M_{p}$ et $m_{e}$ sont respectivement les masses du proton ( $M_{p}=1,673 \times 10^{- 27}$ kg) et de l’électron ( $M_{e}=9,109 \times 10^{- 31}$ kg) et $G$ la constante de gravitationnelle ( $G = 6,6742 \times 10^{- 11}$ m $^{3}$ kg $^{-1}$ s $^{-2}$ ).

La force de gravitation ${\overrightarrow{F}}_{G}$ est négligeable devant ${\overrightarrow{F}}_{c}$ comme le montre le calcul du rapport des normes des forces :

\frac{F_{c}}{F_{G}} = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G M_{p} m_{e}}

(30)

Exercise 3

Calculer le rapport ci-dessus. Conclusion ?

La force de Coulomb s’exerçant entre le proton et l’électron assimilés à deux charges ponctuelles s’écrit donc :

{\overrightarrow{F}}_{c} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\overrightarrow{N}

(31)

On applique la deuxième loi de Newton dans le référentiel galiléen :

m\overrightarrow{a} = \overrightarrow{F}_{c}

(32)

Le mouvement étant circulaire uniforme ( $\frac{dv}{dt} = 0$ ), l’accélération est centripète : ${\overrightarrow{a}}_{N} = \frac{v^{2}}{r}\overrightarrow{N}$ .

On en déduit donc à partir de (32):

m\frac{v^{2}}{r} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}

(33)

soit :

{mv}^{2}r = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}

(34)

En tenant compte de la condition de quantification, on obtient :

v_{n} = \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} \; \frac{1}{n \hbar}

(35)

L’expression ci-dessus donne les vitesses tangentielles possibles sur les orbites stables de l’atome de Bohr.

Les rayons des orbites de Bohr sont donnés :

r_{n} = \frac{e^{2}}{m 4\pi\varepsilon_{0}}\frac{1}{v_{n}^{2}} = \frac{4\pi\varepsilon_{0}}{m e^{2}} \; n^{2}\hbar^{2}

(36)

soit :

r_{n} = {a_{0}n}^{2}

(37)

où :

a_{0} = \frac{4\pi\varepsilon_{0}}{me^{2}}\hslash^{2} = 0,53\;10^{- 10}m

(38)

est le rayon de Bohr.

A partir de l’expression des vitesses (35) et du rayon des orbites stables (36) il est facile de trouver les énergies permises. En effet, l’énergie totale de l’électron est ^[37] :

E = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}

(39)

Soit sur l’orbite $n$ :

E_{n} = - \frac{m}{2}\left( \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\hslash} \right)^{2}\frac{1}{n^{2}}

(40)

Remarquons que l’énergie cinétique est deux fois plus petite (en valeur absolue) que l’énergie potentielle.

Si l’électron passe de l’orbite $n$ à l’orbite $n'$ en émettant de la lumière, la fréquence émise est donnée par :

h\nu = \frac{hc}{\lambda} = E_{n} - E_{n'} = - \frac{m}{2}\left( \frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}\hslash} \right)^{2}\left( \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n^{'2}} \right)

(41)

Des équations (26) et (41) , on peut en déduire l’expression de la constante de Rydberg :

R = \frac{m}{2hc}\frac{e^{4}}{\left( 4\pi\varepsilon_{0}\hslash \right)^{2}} = \frac{me^{4}}{2hc{(2\varepsilon_{0}h)}^{2}} = \frac{me^{4}}{8{\varepsilon_{0}}^{2}h^{3}c}

(42)

Exercise 4

Calculer la constante de Rydberg et montrer qu’elle est conforme à l’expression ci-dessus.

Footnotes¶

Un flux est une quantité d’énergie traversant une unité de surface pendant une unité de temps.
↩
La désintégration α spontanée de radio-isotopes en noyaux atomiques stables est donnée par : $_{Z}^{A}{X \rightarrow_{Z - 2}^{A - 4}Y + _{2}^{4}{He}}$
↩
A : nombre de nucléons (protons et de neutrons) dans le noyau, Z
numéro atomique donnant le nombre de protons.
↩
Principe : les scintillateurs sont des milieux (solvant, molécules) dans lesquels une fraction non négligeable de l’énergie absorbée d’un rayonnement ionisant (photon ou particule chargée) est transformée, par luminescence (fluorescence), en photons susceptibles d’être détectés par un photomultiplicateur. Cette détection consiste à les convertir en un signal électrique qui peut être traité par une électronique appropriée.
↩
La force électrostatique est une force conservative. Agissant sur une particule, une force $\overrightarrow{F}$ produit un travail lorsque la particule se déplace d’un point $a$ à un point $b$ : $W_{a > b} = \int_{a}^{b}{\overrightarrow{F}.\overrightarrow{dl}}$ où $\overrightarrow{dl}$ est le déplacement élémentaire. La force étant conservative on a $W_{a > b} = - (U_{b} - U_{a})$ où $U$ est l’énergie potentielle associée à $\overrightarrow{F}$ . Le calcul du travail de la force électrostatique s’exerçant sur une charge test $q_{b}$ du fait du champ électrique produit par une charge $q_{a}$ lors d’un déplacement radial conduit à l’énergie potentielle électrostatique $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{a}q_{b}}{r}$ d’interaction électrostatique entre deux charges ponctuelles $q_{a}$ et $q_{b}$ séparée de $r$ .
↩

References¶

Guillaume, C.-’Ed. (1905). Les Radiations. Radium (Paris), 2(2), 44–49. https://hal.science/jpa-00242119/document
Paschen, F. (1900). On the distribution of energy in the spectrum of the black body at high temperatures. Astrophysical Journal, Vol. 11, p. 288, 11, 288. https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1900ApJ....11..288P/abstract
Planck, M. (1900). On the theory of the energy distribution law of the normal spectrum. Verh. Deut. Phys. Ges, 2(237), 237–245. https://document.experientia.in/How%20Light%20Bulb%20Invented%20Quantum%20Physics/On%20the%20Theory%20of%20the%20Energy%20Distribution%20Law%20of%20the%20Normal%20Spectrum%20Max%20Planck.pdf
Einstein, A. (1989). Uber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes Betreffenden Heuristischen Gesichtspunkt. Collected Papers of Albert Einstein, 2, 150–166. https://sedici.unlp.edu.ar/bitstream/handle/10915/2784/Über%20einem%20die%20Erzeugung%20und%20Verwandlung%20des%20Lichtes%20betreffenden%20heuristischen%20Gesichtspunkt.pdf?sequence=1&origin=publication_detail
Compton, A. H. (1923). A quantum theory of the scattering of X-rays by light elements. Physical Review, 21(5), 483. 10.1103/PhysRev.21.483
Rutherford, E. (1920). Bakerian lecture: nuclear constitution of atoms. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 97(686), 374–400.
Larmor, J. (1897). LXIII. On the theory of the magnetic influence on spectra; and on the radiation from moving ions. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 44(271), 503–512.
Bohr, N. (1913). I. On the constitution of atoms and molecules. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 26(151), 1–25. https://elib.bsu.by/bitstream/123456789/154368/1/1913-026%20PM%20Bohr%20-%20On%20the%20constitution%20of%20atoms%20%26%20molecules%20I%20-%20Binding%20of%20electrons%20by%20positive%20nuclei.pdf
Bohr, N. (2011). The theory of spectra and atomic constitution: three essays. Cambridge University Press.