Les fondements de la mécanique quantique

Evidence expérimentale de l’incompatibilité de certaines grandeurs¶

On peut montrer qu’il est impossible de mesurer avec précision pour un corpuscule tel que l’électron à la fois sa position et son impulsion. Cherchons à mesurer simultanément $y = 0$ et $p_{y} = 0$.

On interpose sur le trajet d’un faisceau d’électrons une fente afin de sélectionner les électrons ayant une ordonnée $y$ nulle. La précision est liée à la largeur de la fente $\delta y$. Les électrons triés ont donc une ordonnée comprise entre $- \delta y/2$ et $\delta y/2$.

Cependant nous observons que l’homogénéité de la direction des vitesses ($v_{y} = 0$ avant la fente) du faisceau d’électrons a été détruite du fait du passage des électrons par la fente.

En effet, le faisceau issu de la fente a subi un étalement de la distribution angulaire des trajectoires dans un angle $\alpha$.

où $p$ est le module de la quantité de mouvement de l’électron $\overrightarrow{p}$ et $h$ la constante de Planck.

Ce phénomène est appelé un phénomène de diffraction auquel la physique classique n’apporte aucune réponse.

L’hypothèse que cette diffraction serait inhérente à l’action des bords de la fente sur la trajectoire des électrons pourrait être examinée si cette diffraction demeurait la même quel que soit la largeur de la fente. Tel n’est pas le cas. En effet, on observe que la diffraction devient plus faible lorsque l’on augmente la largeur de la fente.

Ainsi, la fixation de $y$ à $\delta y$ près introduit donc nécessairement une incertitude $\delta p_{y}$ sur la composante $p_{y}$ de sa quantité de mouvement après traversée de la fente :

L’incertitude $\delta p_{y}$ étant inversement proportionnelle à $\delta y$, il est impossible de fixer simultanément avec une parfaite précision des valeurs aux grandeurs $y$ et $p_{y}$.

Crédit : G. P. Thomson — Source : Wikimedia Commons — Licence : CC‑BY-SA

Dualité onde-corpuscule¶

Les interprétations des expériences de Compton et de l’effet photoélectrique suffisent-elles pour rejeter définitivement la théorie ondulatoire électromagnétique de la lumière ?

Faut-il rejeter définitivement la théorie ondulatoire et en revenir à la théorie corpusculaire aux prix de raffinements tentant d’expliquer la diffraction des électrons par une fente ?

La réponse est bien évidemment non. On verra que les aspects ondulatoires et corpusculaires sont indissolublement liés pour rendre compte de nombreux faits expérimentaux. On parle alors de dualité onde corpuscule afin d’exprimer que les objets microscopiques possèdent de façon intrinsèque des propriétés qui les assimilent à la fois à des ondes et à des corpuscules matériels.

En 1929 De Broglie (1929) a émis l’hypothèse que cette dualité est une caractéristique de tous les objets microscopiques considérés comme des particules.

La formule donnant la longueur d’onde dite de de Broglie fonction de l’impulsion :

est supposée être applicable selon De Broglie pour toute particule quel que soit leur masse à condition de prendre $\overrightarrow{p} = \gamma m\overrightarrow{v}$ si la particule est relativiste où $\gamma$ est le facteur de Lorentz $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$.

(4) est donnée souvent sous une forme équivalente :

L’énergie cinétique d’une particule non relativiste étant donnée par : $E_{cin} = \frac{p^{2}}{2m}$

conduit :

Annexe : dualité onde-corpuscule¶

Nous verrons, par un cheminement simplifié, comment il a pu associer une longueur d’onde à toute particule.

Revenons au cas des photons. Examinons de quelle manière l’hypothèse de l’existence du corpuscule de lumière par essence de nature relativiste concilie la relation de Planck-Einstein avec celle obtenue par Einstein dans son traité sur la relativité restreinte reliant l’énergie totale $E$ d’une particule à l’impulsion $\overrightarrow{p}$ et sa masse $m_{0}$ (masse au repos ou propre).

La formule relativiste reliant l’énergie et l’impulsion d’une particule s’écrit :

où $m_{0}$ est la masse de la particule au repos, $\overrightarrow{p} = \gamma m\overrightarrow{v}$ avec $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}$ et $\beta = \frac{v}{c}$

On a donc :

La fréquence de l’onde pouvant être rendue arbitrairement aussi petite qu’on le souhaite, on obtient à la limite de la fréquence nulle :

La formule ci-dessus est vérifiée si et seulement si les deux termes sous la racine sont nuls, ceci entraînant que la masse du photon est nulle : $m_{0} = 0$. Cette propriété est vraie quel que soit la fréquence.

Dans ce cas, on a alors

En utilisant la relation de Planck-Einstein $E = h\nu$, on peut ainsi lier l’aspect ondulatoire (la fréquence) et l’aspect corpusculaire (quantité de mouvement) :

c’est-à-dire :

On retrouve la relation expérimentale obtenue dans l’expérience de diffraction des électrons.

Cette relation a été vérifiée dans le cas des photons par l’effet Compton. De Broglie a supposé qu’elle était vraie pour toute particule quel que soit leur masse à condition de prendre $\overrightarrow{p} = \gamma m\overrightarrow{v}$. On l’écrit souvent sous la forme équivalente :

c’est-à-dire :

$p = \hslash k$ et plus généralement $\overrightarrow{p} = \hslash\overrightarrow{k}$

où $\hslash = \frac{h}{2\pi}$. L’impulsion est donc proportionnelle au vecteur d’onde.

Nous allons chercher à exprimer la longueur d’onde en fonction de l’énergie cinétique de la particule. Lorsque la particule est au repos son impulsion est nulle et son énergie est :

Lorsqu’elle est en mouvement son énergie est augmentée d’une quantité qui est par définition son énergie cinétique $E_{cin}$.

On a donc :

En élevant au carré il vient :

D’après la formulation relativiste de l’énergie $E^{2} = p^{2}c^{2} + {m_{0}}^{2}c^{4}$, on a :

soit :

ou encore :

La longueur d’onde s’écrit donc :

où $\lambda_{c} = \frac{h}{mc}$ est la longueur d’onde Compton de la particule.

Dans l’approximation non relativiste, on a $E_{cin} \ll E_{0}$ et on peut écrire :

L’énergie cinétique étant donnée par : $E_{cin} = \frac{p^{2}}{2m}$

et on retrouve bien :

ou :

Vérifications expérimentales¶

Diffraction des électrons¶

De Broglie a prédit qu’il était possible de mettre en évidence l’onde associée à des électrons en mettant en évidence leur diffraction par un cristal à la manière de l’expérience de diffraction par un cristal de Friedrich et Knipping (Friedrich et al. (1913)) des rayons X ^[38].

Davisson & Germer (1928) réalisèrent une expérience de diffraction d’électrons par un cristal de Nickel :

La relation de Bragg démontrée dans le cas de la diffraction des rayons X est :

En déplaçant l’électrode collectrice, Davisson et Germer mesure que les intensités maximales du courant mesuré avaient lieu pour des angles $\theta$ vérifiant la relation de Bragg à la condition de prendre pour longueur d’onde $\lambda$ la longueur d’onde de De Broglie associée aux électrons :

Propriétés ondulatoires de la matière : autres aspects¶

La diffraction des électrons par un métal requiert pour être observée que la longueur d’onde de De Broglie soit de l’ordre de grandeur des distances entre les atomes dans le cristal.

Le microscope électronique constitue une application intéressante des caractéristiques ondulatoires de l’électron. On sait que le pouvoir séparateur est lié à la longueur d’onde. En accélérant les électrons à quelques dizaines de keV leur longueur d’onde devient très courte (10^-11 à 10^-12 m) ce qui permet d’atteindre un très bon pouvoir séparateur.

Le neutron possédant une masse de l’ordre de 1800 fois celle des électrons peut-il manifester une propriété ondulatoire comme l’a supposé De Broglie ?

Aux énergies thermiques (quelques centièmes d’eV) les neutrons ont des longueurs d’onde de l’ordre de 1 Å ce qui permet de les utiliser dans l’étude de la structure cristalline. Contrairement aux atomes neutres ils sont très pénétrants car ils n’interagissent pratiquement pas avec les électrons. Ils sont essentiellement diffusés par les noyaux. Ils ne fournissent cependant aucune information sur la structure nucléaire car la longueur d’onde associée est beaucoup plus grande que le rayon nucléaire. Pour étudier la structure nucléaire il faut des longueurs d’onde comparables aux dimensions nucléaires. Pour cela l’énergie des neutrons doit atteindre quelques MeV. Des expériences de diffraction des neutrons permettent à nouveau de vérifier la relation de De Broglie.

Les particules possédant cette dualité onde et corpuscule sont souvent désignées de quantons ou particules quantiques.

Notions de paquets d'onde¶

Dans un milieu homogène et isotrope, le type le plus simple d’onde est l’onde monochromatique dont la représentation complexe est donnée :

représentant une vibration de longueur d’onde $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ se propageant dans la direction de son vecteur d’onde $\overrightarrow{k}$ à la vitesse constante. La vitesse de propagation est la vitesse de phase.

$\omega$ est indépendante de la direction de $\overrightarrow{k}$ (milieu isotrope) mais peut dépendre éventuellement du module de ce vecteur.

On associe l’onde ci-dessus à un mouvement rectiligne uniforme d’énergie $E = \hslash\omega$ dirigée parallèlement à $\overrightarrow{k}$.

Comme toute onde peut être considérée comme une superposition d’ondes planes monochromatiques, la connaissance de la loi de dispersion $\omega(k)$ suffit à déterminer le comportement de n’importe quelle onde au cours du temps.

Considérons le cas particulier d’une onde plane monochromatique se propageant dans le sens positif de l’axe Ox. Elle est représentée par la fonction :

D’après la formule de De Broglie elle est associée à une particule d’impulsion bien définie $p_{0} = \hslash k_{0}$ et d’énergie bien définie $E_{0} = \hslash\omega_{0}$.

L’onde plane (28) ne peut pas représenter une particule localisée dans une région de l’espace d’extension finie car son extension spatiale est infinie comme toute fonction sinusoïdale.

C’est la raison pour laquelle, il est nécessaire pour représenter le comportement ondulatoire d’une particule localisée à un instant dans une portion de l’espace de construire une superposition d’ondes planes qui interfèrent de manière constructive dans une région limitée de l’espace (où se trouve la particule) et de façon destructive ailleurs. Cette idée est le fondement de la notion de paquet d’ondes.

Pour une particule libre non relativiste l’énergie purement cinétique est donnée par :

On en déduit la relation de dispersion :

La vitesse de phase est donc :

Pour construire une fonction qui ne possède de valeurs appréciables que dans une région limitée de l’espace, il faut superposer des ondes ayant différentes valeurs de k et de ω.

Considérons une fonction de la forme :

où les amplitudes $A_{S}$ mesurent l’importance relative des différentes ondes superposées. On peut en principe choisir les $A_{S}$ de manière à produire une fonction $\Psi(x,t)$ qui n’a des valeurs importantes que dans une région localisée de l’espace.

Supposons qu’à $t = 0$, $\Psi(x,0)$ est la superposition de trois ondes telles que :

$k_{1} = k_{0} - \frac{\Delta k}{2}$, $k_{2} = k_{0}$, $k_{3} = k_{0} + \frac{\Delta k}{2}$, $A_{1} = A_{3} = \frac{A_{0}}{2}$ et $A_{2} = A_{0}$

De plus, nous supposerons que $\Delta k \ll k_{0}$, c’est-à-dire que la dispersion des valeurs de $k$ est petite par rapport à la moyenne $k_{0}$.

On a donc :

d’où :

soit :

On a donc une fonction $\cos\left( k_{0}x \right)$ qui oscille très rapidement comme le montre la figure tracée par le script Python. L’amplitude est modulée par une autre fonction dont l’oscillation est beaucoup plus lente. L’amplitude oscille entre les valeurs 0 et ${2A}_{0}$et elle atteint son maximum en $x = 0$ à $t = 0$.

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import math
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt


def paquet(x, k0, delta_k, A0):
    """
    paquet d'ondes
    """
    return (2 * A0 * np.cos(k0 * x) * np.cos(delta_k * x / 4.)**2)

# script principal

# --------------------------------------------------------- 
# Paramètres de l’électron (150 eV)
# ---------------------------------------------------------
deltak = 1.5e10
k0 = 6.3e10
A0 = np.sqrt(2) / deltak
nbPeriodes = 6
npPointsParPeriode = 600

#dicretisation abscisses
nbPointsDiscrt = 200

x = np.linspace(- nbPeriodes * 4 * math.pi / deltak / 2, nbPeriodes *4 * math.pi / deltak / 2, nbPointsDiscrt + 1)

y = paquet(x, k0, deltak, A0)

# Premieres annulations du cos()**2 pour phase = +/- pi / 2

xnulNeg = - 2 * math.pi / deltak
xnulPos = 2 * math.pi / deltak

plt.figure()

plt.plot(x,y,label = 'paquet d\'ondes')

plt.axvline(xnulNeg,color='gray',linestyle='--',label =
'-2pi/deltak') # tracer droite verticale

plt.axvline(xnulPos,color='red',linestyle='--',label =
'+2pi/deltak')

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.legend()

plt.show()

A $t = 0$, la fonction $\cos^{2}\left( \frac{\Delta k}{4}x \right)$ s’annule en :

La largeur spatiale de l’enveloppe est :

alors que la largeur en impulsion est :

Le mouvement étant unidimensionnel selon l’axe $Ox$, le produit de ces deux grandeurs est donné par :

C’est donc une grandeur fondamentale indépendante des caractéristiques des ondes superposées. Ainsi pour construire une fonction bien localisée dans l’espace il faut superposer des ondes correspondant à une grande dispersion des impulsions. Il est donc impossible de représenter une particule ayant une impulsion et une position bien définies simultanément.

Le calcul simple effectué ici avec seulement trois ondes planes donne en fait une fonction périodique de $x$ ; la particule possède donc une infinité d’images du lobe centrale comme le montre la figure ci-dessus. En réalité il est possible de construire une fonction qui ne possède qu’une seule image (ou lobe de l’enveloppe) ou qui interfère de manière constructive dans une seule région de l’espace d’extension finie. Pour cela il est nécessaire de superposer un très grand nombre d’onde de valeurs de $k$ très proches.

A la limite, la superposition forme un continuum de telle manière que la somme sur les différentes valeurs de $k$ devient une intégrale. En représentation complexe on a :

où l’amplitude $A(k)$ peut être complexe.

On écrit, de manière équivalente :

On suppose que $\left| A(k) \right|$ possède des valeurs appréciables dans un intervalle $\Delta k$ centré autour d’une valeur $k_{0}$. L’intégrale (41) sera maximale en module à chaque instant lorsque les ondes d’amplitudes les plus grandes c’est-à-dire celles qui correspondent à $k$ voisin de $k_{0}$ interfèreront de manière constructive. Ceci se produit lorsque la phase de ces ondes qui dépend de $k$ ne varie pratiquement pas autour de $k = k_{0}$. On écrit donc la condition de phase stationnaire :

c’est-à-dire :

soit :

La relation ci-dessus est l’équation d’un mouvement uniforme à la vitesse :

Cette grandeur est appelée vitesse de groupe. Elle correspond précisément à la vitesse de déplacement du centre du paquet d’onde.

La quantité $- \frac{d\alpha}{dk}$ est indépendante du temps et joue le rôle de position initiale.

En utilisant la relation de dispersion (30), on trouve :

c’est-à-dire :

C’est donc la vitesse de groupe qui est associée à la vitesse de la particule.

Remarque

Chaque onde composant le paquet d’onde se déplace avec sa propre vitesse qui est la vitesse de phase puisque cette dernière dépend de la valeur de $k$. Ainsi l’évolution temporelle d’un paquet d’onde montre une propagation du paquet subissant une déformation de la forme du paquet. C’est la raison pour laquelle la relation qui donne $\omega$ en fonction de $k$ s’appelle la relation de dispersion.

Il est donc possible de construire une fonction localisée dans l’espace mais à la condition d’accepter une certaine dispersion des vecteurs d’onde c’est-à-dire des impulsions. Or pour qu’une particule possède une trajectoire bien définie il faut qu’elle possède à chaque instant une position et une impulsion bien définies. Il semble donc impossible d’attribuer de telles grandeurs à une particule si on la représente à l’aide d’un paquet d’ondes.

On retrouve le constat fait dans le cas de la diffraction des électrons par une fente quant à l’incompatibilité de la grandeur position et impulsion.

Paquet d’onde gaussien (hors programme L2)¶

On considère en exemple un paquet d’onde gaussien où la sommation devient une intégrale. On montre que cette fois-ci la sommation intégrale d’ondes de nombres d’onde “infiniment rapprochés” conduit à une intérférence constructive dans une seule région localisée de l’espace :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ---------------------------------------------------------
#  Fonctions utilitaires
# ---------------------------------------------------------

def trapz_local(y, x):
    return np.sum((y[1:] + y[:-1]) * (x[1:] - x[:-1]) / 2)

def omega(k, hbar, m):
    return hbar * k**2 / (2 * m)

def psi_of_x(x, t, k, a, k0, hbar, m):
    """
    Calcule ψ(x,t) = ∫ g(k) exp[i(kx - ω(k)t)] dk
    """
    gaussian = np.exp(-(a**2) * (k - k0)**2 / 4)
    phase = np.exp(1j * (k * x - omega(k, hbar, m) * t))
    integrand = gaussian * phase
    return trapz_local(integrand, k)

# ---------------------------------------------------------
#  Constantes physiques
# ---------------------------------------------------------

hbar = 1.055e-34
m = 9.11e-31

# ---------------------------------------------------------
#  Paramètres de l’électron (150 eV)
# ---------------------------------------------------------

k0 = 6.3e10  # m^-1 (longueur d’onde ~0.1 nm)

# largeur en k : ~5% de k0
sigma_k = 3e9
a = np.sqrt(2) / sigma_k   # ~5e-10 m

# ---------------------------------------------------------
#  Grilles x et k
# ---------------------------------------------------------

# espace réel : ±20 nm
x = np.linspace(-5e-8, 5e-8, 600)

# vitesse de groupe
vg = hbar * k0 / m

# temps caractéristique pour traverser 20 nm
t0 = 2e-8 / vg

# grille en k : ±5 sigma_k
k = np.linspace(k0 - 5*sigma_k, k0 + 5*sigma_k, 4000)

# ---------------------------------------------------------
#  Normalisation du paquet à t = 0
# ---------------------------------------------------------

psi0 = np.array([psi_of_x(xi, 0, k, a, k0, hbar, m) for xi in x])
norm0 = trapz_local(np.abs(psi0)**2, x)
psi0 /= np.sqrt(norm0)

# ---------------------------------------------------------
#  Évolution temporelle
# ---------------------------------------------------------

t_values = [-t0, 0, t0]

plt.figure(figsize=(8,4))

for t in t_values:
    psi_t = np.array([psi_of_x(xi, t, k, a, k0, hbar, m) for xi in x])
    psi_t /= np.sqrt(norm0)  # conserve la norme
    prob = np.abs(psi_t)**2

    # Vérification de la norme
    norme = trapz_local(prob, x)
    print(f"t = {t:.2e} s, norme = {norme:.6f}")

    plt.plot(x*1e9, prob, label=f"t = {t:.2e} s")

plt.xlabel("x (nm)")
plt.ylabel(r"|ψ(x,t)|²")
plt.title("Évolution d’un paquet d\’onde gaussien (électron 150 eV)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

La dispersion du paquet d’onde causant sa déformation au cours de la propagation est constitutive de la nature du paquet d’onde (nature ondulatoire de l’électron)

Mesures de la position et l’impulsion¶

Nous venons de voir, dans une tentative de réduire la réalité du monde physique à celle des ondes (paquet d’ondes) ou à celle des particules (diffraction des électrons par une fente), qu’il est impossible d’attribuer une position et une impulsion bien définies à une particule, et donc de lui attribuer une trajectoire.

Cette limitation constitue-elle un échec fatal pour cette démarche ?

Est-il possible de connaître la position et l’impulsion d’une particule avec une précision illimitée ? L’utilisation d’un diaphragme est sans doute la méthode la plus directe pour mesurer la position d’un électron. Cependant, on peut également éclairer cet objet et observer sa position au travers d’un microscope.

Heisenberg a fait une analyse critique de ce processus de mesure (observer effect) en s’intéressant à la mesure précise de la position d’un électron. L’expérience de pensée qu’il a proposée est connue sous le nom de microscope de HeisenbergHeisenberg (2013) . Nous allons la décrire ici.

Lorsqu’un objet macroscopique est éclairé, il n’est pas perturbé par l’impact des photons et on peut l’observer sans le déranger. Il n’en va pas de même d’un objet microscopique comme un électron par exemple

Ainsi si on éclaire un électron et que l’on observe les photons défléchis dans une lentille, on remonte à la connaissance de la position de l’électron. L’expérience de Compton a montré qu’il subit un recul sous l’impact du photon. On perturbe donc l’électron en lui imposant un changement d’impulsion. Or pour obtenir une bonne résolution spatiale il faut utiliser une longueur d’onde courte c’est-à-dire des photons de grande impulsion. La perturbation que subit l’électron est alors plus grande. Si l’on souhaitait mesurer de manière subséquente l’impulsion de l’électron, il faudrait évaluer la perturbation provoquée par la mesure. On peut évaluer une telle perturbation en mesurant le changement d’impulsion du photon. On mesure donc l’impulsion finale du photon en supposant que la seule source d’imprécision provient de cette mesure.

Considérons un électron éclairé par un faisceau de lumière (pas nécessairement visible pour l’œil humain). L’observation, à l’aide d’un microscope, d’un photon diffusé par l’électron permet d’obtenir une information sur sa position Figure 5. Or la précision obtenue sur la mesure de la position est limitée par le pouvoir séparateur du microscope. Puisque celui-ci ne peut pas donner des images distinctes de deux points dont la différence d’ordonnées est inférieure à :

c’incertitude sur l’ordonnée de l’électron est de l’ordre de $\Delta y = \delta$.

On suppose que l’impulsion initiale du photon $\overrightarrow{p}$ est connue avec une précision illimitée. L’observateur ou instrument qui reçoit le photon sait uniquement que celui-ci a traversé la lentille mais il ignore par quel endroit il est passé.

Evaluons l’impulsion transférée par le photon à l’électron. Avant la collision, nous supposons que l’électron est au repos $\overrightarrow{p^{e}} = \overrightarrow{0}$ en $y = 0$. L’impulsion du photon est supposée connue avec une précision illimitée. Sa direction est le long $Oy$ est son module est $p = \frac{h}{\lambda}$. Après la collision, l’impulsion transférée à l’électron sur Oy est $mv_{y}^{e}$. Cette dernière est maximale lorsque la composante selon $Oy$ de l’impulsion du photon est négative et que la direction de diffusion correspond à l’angle maximal autorisé par l’ouverture angulaire de la lentille (chemin 2). On a alors d’après la relation de conservation de l’impulsion totale pour le chemin 2:

On projette sur $Oy$ en multipliant scalairement par le vecteur unitaire $\overrightarrow{e_{y}}$:

L’impulsion transférée est minimale lorsque la composante selon $Oy$ du photon est positive (chemin 1) :

Des équations précédentes, on peut tirer que l’impulsion suivant $Oy$ de l’électron est comprise entre ${p"}_{y}^{e} = \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda"}\sin\frac{\theta}{2}$ et ${p'}_{y}^{e} = \frac{h}{\lambda} + \frac{h}{\lambda'}\sin\frac{\theta}{2}$

En supposant que $\lambda' \simeq \lambda$ et que $\lambda" \simeq \lambda$, on en déduit que l’incertitude sur la composante suivant $Oy$ de l’électron après la collision est :

L’utilisation d’une courte longueur d’onde et d’une grande ouverture angulaire pour la lentille conduit à une petite incertitude sur la position mais à une grande incertitude sur l’impulsion. Le produit des incertitudes est indépendant de la longueur d’onde et de l’ouverture de la lentille.

En effet, on a :

Ce produit ne peut pas être rendu arbitrairement petit car il est proportionnel à une constante fondamentale de la physique. Nous avons obtenu en fait une limite inférieure pour le produit des incertitudes.

On peut donc écrire :

La détermination de la trajectoire d’une particule implique la mesure simultanée de sa position et de sa vitesse (ou de son impulsion).

La relation précédente implique donc que la trajectoire des objets microscopiques n’est pas mesurable.

Ceci contredit le modèle de Bohr dans lequel le mouvement de l’électron décrit une orbite bien définie. Si ces trajectoires existaient vraiment, pour les observer, il faudrait utiliser des photons dont la longueur d’onde soit inférieure à 10$^{-10}$ m (diamètre de l’atome d’hydrogène dans son état fondamental). De tels photons se trouvent dans la gamme des rayons X et leur énergie est supérieure à 12500 eV. Cette énergie est considérable par rapport à l’énergie de liaison de l’électron (13,6 eV). L’électron risquerait donc d’être éjecté de l’atome. Ces considérations montrent qu’il est impossible d’observer la trajectoire d’un électron dans un atome.

La trajectoire n’étant pas observable à l’échelle atomique d’après Heisenberg, il n’est pas nécessaire de construire une théorie dans laquelle cette notion est définie. En effet la physique doit fournir une réponse uniquement aux questions qui se posent en termes d’expériences.

Interprétation des inégalités de Heisenberg¶

La position et l’impulsion d’une particule ne peuvent pas être connues simultanément avec une précision illimitée. En effet nous avons vu formule (39) que le produit $\Delta x\Delta p_{x}$ ne peut pas être rendu arbitrairement petit car il est proportionnel à une constante fondamentale de la physique. Nous avons obtenu en fait une limite inférieure pour le produit des incertitudes dont on peut donner une formulation plus générale appelé inégalité d’Heisenberg :

La valeur précise de la limite n’a pas de sens tant qu’une définition précise de $\Delta x$ et de $\Delta p_{x}$ n’a pas été donnée. Cette limite est cependant toujours liée à la constante de Planck.

Question : l’inégalité de Heisenberg traduit-elle une incertitude (liée au processus de mesure) ou une indétermination ?

La première hypothèse suppose que la position et l’impulsion ont des valeurs bien définies dans la nature mais que les limitations liées au processus de mesure (observer effect) ou aux appareils de mesure nous empêchent de les connaître avec une précision illimitée.

La seconde hypothèse suppose au contraire que ces grandeurs ne sont pas bien définies dans la nature et qu’en conséquence il est impossible de les mesurer avec une précision illimitée. Nous allons adopter ce second point de vue et nous allons voir que les inégalités de Heisenberg nous permettent d’apprendre quelque chose sur le comportement des systèmes physiques.

La quantité $\Delta x$ représente l’extension spatiale d’un objet microscopique tandis que $\Delta p_{x}$ représente son extension en impulsion. Du point de vue d’une répartition statistique des résultats d’une mesure, ces valeurs sont assimilables à l’écart type ou écart quadratique moyen.

On aura donc : $\Delta x = \sqrt{\left\langle x^{2} \right\rangle - \left\langle x \right\rangle^{2}}$ et $\Delta p_{x} = \sqrt{\left\langle {p_{x}}^{2} \right\rangle - \left\langle p_{x} \right\rangle^{2}}$

Si la valeur moyenne est nulle il vient :

$\Delta x = \sqrt{\left\langle x^{2} \right\rangle}$ et $\Delta p_{x} = \sqrt{\left\langle {p_{x}}^{2} \right\rangle}$

où $\left\langle x^{2} \right\rangle$ correspond à la dispersion quadratique autour de 0.

Ainsi les quantités $\Delta x$ et $\Delta p_{x}$ fournissent une approximation ou une estimation de $\left\langle|x| \right\rangle$ et de $\left\langle\left| p_{x} \right| \right\rangle$. Si on note $a$ l’extension spatiale, l’extension en impulsion s’écrit d’après la limite inférieure de l’inégalité d’Heisenberg :

C’est une valeur représentative de $\left| p_{x} \right|$.

Effet tunnel¶

Nous allons terminer par un exemple qui présente un immense intérêt aussi bien pratique que théorique : l’effet tunnel dont la découverte est largement attribuée à Gamow (1928).

Considérons le mouvement unidimensionnel d’une particule soumise à une interaction qui lui donne une énergie potentielle V(x) (Figure 6).

Supposons que son énergie totale soit inférieure à la valeur maximale de V(x). En chaque point son énergie cinétique est donnée par :

D’après la théorie classique la particule ralentit lorsque l’énergie potentielle augmente et la région où $E < V_{0}$ est interdite car l’énergie cinétique ne peut pas être négative.

D’après la théorie classique, si la particule se trouve d’un côté de la barrière à un instant donné elle y reste. En effet pour aller de A en B elle devrait passer par toutes les positions intermédiaires d’abscisses pour lesquelles l’énergie cinétique serait négative car la particule possède une trajectoire bien définie.

La relation d’indétermination de Heisenberg implique que la particule ne possède pas de trajectoire. Il ne lui serait donc pas interdit de faire la transition de A à B. En effet considérer cette transition n’implique pas que son énergie cinétique puisse être considérée comme négative à un instant donné ! Pour pouvoir faire une telle affirmation, il faudrait mesurer sa position avec une précision nettement meilleure que la largeur de la barrière. Nous trouverions alors que la limitation de l’extension spatiale $\Delta x = a$ produirait une augmentation de l’impulsion (et donc de l’énergie cinétique) tellement grande qu’on ne pourrait pas affirmer que l’énergie totale serait inférieure à la hauteur de la barrière. En fait, il n’y a pas de contradiction entre la traversée de la barrière et la conservation de l’énergie parce que le concept de trajectoire (évolution continue dans l’espace-temps) n’a pas de sens.

Ce genre de phénomène se produit couramment dans les atomes, les molécules, les solides et les noyaux. Il a reçu le nom d’effet tunnel.

Limite de validité de la physique classique¶

Si les électrons passent à travers une fente de largeur $d$, l’expérience montre que les effets quantiques sont négligeables si $\lambda \ll d$. Il suffit de quelques dizaines d’eV pour qu’un électron ait une longueur d’onde de l’ordre de l’Angström, c’est-à-dire une distance très courte à l’échelle macroscopique. Cependant, lorsqu’il atteint un cristal ou une poudre c’est la distance inter atomique qui joue le rôle de distance caractéristique. Comme elle est de l’ordre de 1 Å, des effets quantiques se manifestent.

Reprenons en guise d’illustration l’expérience de diffraction des électrons par un diaphragme. La diffraction est négligeable si :

soit :

ou encore :

ce qui est toujours le cas si $\lambda \ll d$.

Pour conclure, on peut formuler le critère de validité de la mécanique classique à l’aide des inégalités de Heisenberg. Tant que la précision des mesures est telle que :

$\Delta x\Delta p_{x} \gg \hslash$, $\Delta y\Delta p_{y} \gg \hslash$ et $\Delta z\Delta p_{z} \gg \hslash$

les effets quantiques ne se manifestent pas dans l’expérience.