Probabilités et amplitudes quantiques

Introduction¶

Nous avons vu que le concept de photon s’est imposé pour expliquer certains phénomènes impliquant des ondes électromagnétiques.

L’expérience confirme cette hypothèse aujourd’hui.

Les objets "quantiques" qui sont caractérisés par la dualité onde/corpuscule sont appelés "quantons" pour ne pas favoriser un aspect par rapport à l’autre.

Nous commencerons l’élaboration d’un schéma théorique qui vise à interpréter les phénomènes impliquant des quantons. Les lois énoncées s’appliqueront à tous les quantons mais nous attacherons une importance particulière au photon.

Nous verrons que la notion de probabilité est indispensable. En effet les lois de la physique quantique sont fondamentalement probabilistes. La notion de probabilité est cependant insuffisante : le concept d’amplitude de probabilité est nécessaire pour expliquer l’interférence quantique. Les règles relatives au calcul des amplitudes et des probabilités jouent le rôle de postulats de la théorie quantique.

La notion de probabilité en physique quantique¶

Montrons que la notion de probabilité est indispensable à l’interprétation des phénomènes lumineux mais pas insuffisante.

Loi de Malus¶

Considérons une onde plane polarisée rectilignement (lumière monochromatique) incidente sur un polariseur rectiligne dont l’axe est selon la direction du vecteur unitaire $\overrightarrow{a}$. L’amplitude du champ électrique est $E_{0}$ et l’intensité est $I_{0}$ après la traversée du polariseur. Un second polariseur, identique au premier mais dont l’axe est suivant le vecteur unitaire $\overrightarrow{b}$ est placé sur le chemin du faisceau transmis par le premier polariseur. L’amplitude transmise par le second polariseur est :

$E_{t} = E_{0}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = E_{0}\cos\theta$ | où $\theta$ est l’angle entre les axes des

L’intensité mesurée après le second polariseur est donnée par :

Cette relation est appelée loi de Malus (1809).

Elle est en accord avec les prévisions de la théorie de Maxwell. Ainsi si l’intensité ^[41] varie comme $\cos^{2}\theta$ lorsqu’on tourne le deuxième polariseur ^[42], la fréquence de la lumière (et donc sa couleur) ne change pas.

Nous allons chercher une interprétation de la loi de Malus à l’aide du concept de photon. Chaque photon est porteur de l’énergie $\hslash\omega$.

Soit $N$ le flux de photons (nombre de photons transportés par unité de temps et par unité de section du faisceau). L’intensité du faisceau incident c’est à dire le flux en énergie est :

Puisque la proportion $\cos^{2}\theta$ de l’énergie incidente sur le second polariseur est transmise on peut envisager deux hypothèses :

1. une proportion $\cos^{2}\theta$ de chaque photon traverse le polariseur,

2. une proportion $\cos^{2}\theta$ des photons est transmise intégralement.

L’hypothèse 1° combinée à la loi de Planck - Einstein entraîne que la fréquence est multipliée par $\cos^{2}\theta$ à la sortie du second polariseur. On devrait donc observer un changement de couleur en tournant ce polariseur. Au-delà d’une certaine valeur de $\theta$, la lumière transmise devrait même être invisible. La fréquence ne changeant pas lors de la traversée d’un polariseur, l’hypothèse doit être rejetée.

Selon l’hypothèse 2° il y a une certaine fraction $\cos^{2}\theta$ des photons qui sont transmis intégralement. On peut dire ainsi que la probabilité pour qu’un photon soit transmis est $\cos^{2}\theta$. Tous les photons sont identiques et pourtant certains sont transmis alors que d’autres sont absorbés. Malgré de nombreuses tentatives personne n’a pu imaginer un mécanisme qui permettrait de prédire avec certitude ce qui arriverait à un photon donné. La théorie quantique ne peut que calculer la probabilité pour qu’un photon soit transmis. Il est évidemment impossible de prédire ce qui arrivera à un photon particulier : c’est la statistique se rapportant à un grand nombre d’événements qui permet de vérifier la théorie.

Réflexion partielle de la lumière¶

Considérons le phénomène familier de la réflexion partielle de la lumière à l’interface entre deux milieux transparents [Rayleigh (1879)]. C’est un phénomène qui est très bien expliqué par la théorie électromagnétique de Maxwell. Dans le cas d’une incidence normale, le
l’expérience montre, comme le rappelle Fresnel dans son mémoire [Fresnel (2016)], que 4 % de l’énergie incidente est réfléchie ; il y a donc 96 % de l’énergie qui est transmise dans le second milieu.

Dans l’hypothèse de l’existence des photons et puisque tous les photons sont identiques on peut se demander pourquoi certains sont réfléchis et d’autres sont transmis. On pourrait formuler l’hypothèse que le verre comporte un certain nombre de trous (cylindriques) et que les photons arrivant dans un trou sont transmis alors que ceux qui arrivent entre les trous sont réfléchis. Cette hypothèse est peu crédible car le même phénomène s’observe à la surface de l’eau. Or les molécules sont mobiles dans un liquide. Il n’y a donc aucune raison de supposer qu’il existe des canaux vides qui permettent le passage des photons.

En outre, la quantité d’énergie réfléchie par une couche mince dépend de son épaisseur. Dans le cas d’un verre d’indice de réfraction $1,5$ elle peut varier de 0 à 16 %. La quantité réfléchie tend à diminuer avec l’augmentation de l’épaisseur de la lame. Ce fait montre qu’il est impossible d’interpréter la réflexion partielle à partir d’un modèle géométrique simple de la lame mais il montre également l’insuffisance de la notion de probabilité. Si 4 % des photons sont réfléchis sur la première face de la lame on ne peut pas expliquer comment l’énergie réfléchie diminue avec l’augmentation de l’épaisseur de la lame.

Nature granulaire de la lumière¶

On peut montrer expérimentalement la nature granulaire de la lumière en utilisant un éclairage de très faible intensité. Si la théorie de Maxwell était exacte l’énergie reçue varierait de la même façon en tout point de la surface éclairée. L’expérience montre que ce n’est pas ce qui se produit (Figure 2). Au contraire, on voit apparaître des taches localisées produites par les impacts des photons. L’existence de ces derniers n’est plus évidente lorsque l’éclairage est fort : les fluctuations statistiques deviennent relativement moins importantes lorsque le nombre de photons est grand.

L’expérience d’Young réalisée avec une source de très faible intensité permet de mettre en évidence les impacts localisés des photons sur la plaque photographique Figure 2 :

Photographie prise avec :

L’image est tirée de l’ouvrage de French (2018) d’après des clichés de Rose (1953).

Les franges sombres et les franges brillantes dont l’existence est expliquée par la théorie ondulatoire apparaissent lorsque le nombre de photons est assez grand.

Ici encore la notion de probabilité est insuffisante pour expliquer l’existence de franges sombres. En effet, la probabilité étant un nombre non négatif, on ne peut pas obtenir une probabilité nulle de recevoir un photon à certains endroits lorsque les deux fentes sont ouvertes sans que la probabilité pour que le photon passe par chacune des fentes soit nulle.

Le comportement quantique¶

Avant d’introduire le formalisme de la théorie quantique nous allons présenter une expérience de pensée imaginée par R.P. Feynman qui décrit bien les caractéristiques essentielles du comportement quantique. Ce comportement quantique se réfère à l’évolution dans l’espace-temps d’un système physique réalisé au moyen d’une expérience. Une telle expérience sera décrite par l’état initial du système étudié et par ce même état dans un état final.

Considérons le dispositif de Young mais avec une source produisant des corpuscules classiques des balles de fusils (indestructibles) comme le montre la Figure 4 par exemple .

Un ensemble de détecteurs permet de mesurer le nombre de balles reçues sur l’écran en fonction de la position. Lorsque seul le trou 1 est ouvert cette distribution est donnée par la courbe $N_1(y)$ et lorsque seul le trou 2 est ouvert elle est donnée par $N_2(y)$. Pour la même durée de fonctionnement, lorsque les deux trous sont ouverts on obtient une distribution qui en chaque point est la somme des précédentes :

De plus la détection des balles donne lieu à des impacts bien définis dans l’espace et dans le temps.

Gardons le même dispositif mais remplaçons la source de particules classiques par une source d’ondes classiques. Lorsque seul le trou 1 est ouvert l’intensité est donnée par $I_{1}(y)$ et lorsque seul le trou 2 est ouvert, elle est donnée par la courbe $I_{2}(y)$ (Figure 5).

Par contre lorsque les deux trous sont ouverts l’intensité mesurée sur l’écran $I_{12}(y)$ ne ressemble en rien à celle qui est obtenue avec des corpuscules classiques, c’est-à-dire qu’elle est très différente de la somme des intensités mesurées avec un seul trou ouvert :

A certains endroits on détecte moins d’énergie avec deux trous ouverts qu’avec un seul trou. L’interférence est alors destructive. La détection de l’énergie se fait de manière continue dans le temps et étalée dans l’espace.

Supposons que la source émette des électrons. Lorsqu’un seul trou est ouvert, on observe une distribution semblable à celle des corpuscules et des ondes classiques. La détection se fait cependant par impacts localisés dans l’espace et dans le temps, ce qui porte à croire que les électrons sont des corpuscules.

Lorsque les deux trous sont ouverts le nombre d’électrons détectés varie très rapidement avec la position manifestant un phénomène d’interférence. En fait la distribution ressemble beaucoup à la fonction $I_{12}(y)$ représentant l’intensité obtenue avec des ondes classiques. Cependant la détection se fait toujours par impacts localisés dans l’espace et dans le temps comme pour des corpuscules.

Les deux aspects, corpusculaire et ondulatoire, se manifestent dans la même expérience. On obtient le même type de résultats avec des photons (Figure 5), des neutrons ou même des atomes.

Une conséquence importante de la distribution des électrons observée lorsque les deux trous sont ouverts est la suivante :

En effet, si c’était le cas on pourrait dire que le nombre d’électrons reçus en chaque point est égal au nombre d’électrons ayant traversé le trou 1 auquel on ajoute le nombre d’électrons ayant traversé le trou 2 :

On peut essayer de déterminer par quel trou passe chaque électron en les éclairant à l’aide d’une source de lumière (Figure 6).

L’éclairage des trous permet effectivement de savoir par quelle fente passe chaque électron car la charge électrique diffuse la lumière en émettant un flash de lumière au voisinage d’une fente mais l’interférence disparaît et la distribution devient identique à celle des corpuscules classiques. Les électrons sont manifestement perturbés par la lumière. On peut essayer d’atténuer cette perturbation en diminuant l’intensité de la source de lumière. Dans ce cas elle émet moins de photons et certains électrons ne sont pas vus. Les électrons détectés sans qu’un éclair soit émis possèdent une répartition caractéristique d’un phénomène d’interférence. Par contre, ceux qui ont été vus (éclair émis au voisinage d’un des fentes) ont une répartition semblable à celle des corpuscules classiques.

Une autre façon d’atténuer la perturbation des électrons consiste à diminuer l’énergie et l’impulsion des photons en augmentant la longueur d’onde de la lumière éclairante. Il est possible alors de diminuer suffisamment la perturbation pour que la distribution des électrons détectés manifeste à nouveau un phénomène d’interférence. Cependant, on trouve alors que la longueur d’onde est trop grande pour obtenir un pouvoir séparateur suffisant pour déterminer par quelle fente l’électron est passé.

En résumé, on peut dire que chaque fois qu’une expérience permet de déterminer par quel trou passe chaque électron, leur répartition sur l’écran est semblable à celle des corpuscules classiques. Sinon on observe des interférences.

Remarquons enfin que l’interaction entre quantons ne joue aucun rôle dans ce genre d’expérience. On obtient les mêmes résultats en leur faisant traverser le dispositif un à un.

Notion d’amplitudes de probabilité pour caractériser l’évolution spatio-temporelle d’un système¶

La notion de probabilité est insuffisante pour expliquer l’expérience précédente car elle ne permet pas de rendre compte du phénomène d’interférence. En effet étant un nombre positif elle ne peut pas diminuer lors de l’ouverture d’une voie supplémentaire.

Pour résoudre ce problème la théorie quantique fait appel au concept d’amplitude de probabilité de transition :

Une telle amplitude est un nombre complexe dont le carré du module représente la probabilité de cette transition.

En présence de deux ou plusieurs voies ou alternatives possibles pour une transition donnée, il faut une règle permettant de calculer les amplitudes et les probabilités. La superposition des amplitudes ou principe de superposition des amplitudes (PSAP) joue un rôle capital en théorie quantique :

La probabilité est donc le carré du module de la somme des amplitudes.

Dans le cas où une source émettrait des électrons comme dans l’expérience précédente on note $A_{1}$ ou $A_{2}$ l’amplitude de probabilité pour que l’électron aille de la source à un point de l’écran lorsque la seule fente 1 ou 2 est ouverte respectivement. La probabilité de transition est donnée par :

ou

selon que c’est la fente 1 ou la fente 2 qui est ouvert à l’exclusion de l’autre.

Lorsque les deux fentes sont ouvertes et aucune expérience n’est faite pour déterminer par quel trou passent les électrons, les deux voies sont indiscernables et d’après le PSAP il faut additionner les amplitudes :

soit :

ou bien :

Les deux premiers termes sont positifs mais le dernier peut être positif ou négatif. Il représente l’interférence.

Lorsque les deux voies sont en principe discernables le PSAP ne s’applique pas. Il faut additionner les probabilités associées à chaque voie. On a alors :

c’est-à-dire :

Dans ce cas l’interférence disparaît.

Seule la probabilité est mesurable par l’expérience. La phase de l’amplitude totale est sans importance car seul le carré de son module est accessible à la mesure. Les probabilités sont inchangées si toutes les amplitudes sont multipliées par un facteur $e^{i\alpha}$. Un tel facteur est appelé facteur de phase.

La phase relative des amplitudes (déphasage) est cependant très importante car c’est elle qui détermine si l’interférence est constructive ou destructive. La somme de deux amplitudes est maximale (en module) lorsqu’elles sont en phase c’est-à-dire lorsque les vecteurs du plan complexe qui les représentent ont la même orientation. De même le module de l’amplitude résultante est minimal si leur déphasage est π ; elles sont alors représentées par des vecteurs opposés dans le plan complexe. Dans le premier cas l’interférence est constructive. Toutes les situations intermédiaires sont évidemment possibles (Figure 7).

Calcul des amplitudes et des probabilités¶

Pour calculer les amplitudes et les probabilités dans des situations assez réalistes il faut définir des règles précises qui peuvent être considérées comme les postulats de la théorie quantique.

Avant de les énoncer nous introduirons la notation de Dirac couramment utilisée pour désigner une amplitude de probabilité.

L’amplitude de probabilité de transition entre deux états s’écrit sous la forme :

Ainsi l’amplitude de probabilité pour qu’un électron aille de la source au détecteur lorsque la seule fente est ouverte 1 peut s’écrire :

Pour la seule fente 2 ouverte :

En plus du PSAP deux autres principes sont nécessaires pour permettre de calculer les amplitudes et les probabilités.

Principe d’addition des probabilités¶

Lorsqu’une transition peut se faire par des voies intermédiaires en principe discernables, chacun de ses états peut être considéré comme final pour une partie de la transition. La règle d’addition des probabilités que nous avons déjà énoncée précédemment peut être considérée comme un cas particulier du principe d’addition des probabilités de transition vers des états finaux distincts.

Principe de factorisation séquentielle.¶

Dans le cas particulier de l’expérience réalisée avec le dispositif d’Young la transition de la source au détecteur peut se faire par l’intermédiaire de l’un ou l’autre trou. Le principe de factorisation séquentielle permet d’écrire :

L’expression $\left\langle i \middle| S \right\rangle$représente l’amplitude de probabilité pour que le quanton quitte la source $S$ pour arriver à la fente $i$ et $\left\langle D \middle| i \right\rangle$ représente l’amplitude de probabilité pour qu’il aille de la fente $i$ au détecteur.

Le type de transition intervenant dans les expériences étudiées ici est en fait une propagation dans l’espace-temps. Dans le cas des photons nous pourrons donner une expression très simple. Elle expliquera ainsi tous les phénomènes déjà expliqués par l’optique ondulatoire et par l’optique géométrique.

Propagation de la lumière et amplitude de propagation des photons¶

Les photons se déplacent-ils en ligne droite dans le vide ? A première vue la réponse semblait être positive car l’expérience quotidienne nous permet d’observer facilement le phénomène de propagation rectiligne de la lumière (visible). C’est d’ailleurs cette observation qui a conduit au développement du modèle géométrique. En revanche l’existence d’une trajectoire bien définie pour le photon est incompatible avec l’inégalité d’Heisenberg. Comment concilier ces propriétés qui semblent être en contradiction ?

On peut essayer de résoudre ce dilemme en faisant une expérience appropriée :

Une source de lumière S émet des photons dont certains passent à travers une fente AB percée dans un écran opaque. Un détecteur $D_1$ est placé de telle sorte qu’il existe des trajets rectilignes allant de la source à ce détecteur. Un autre détecteur $D_2$ est placé de telle sorte qu’il n’existe aucun trajet rectiligne le reliant à la source et passant par la fente. Si le détecteur $D_1$ reçoit des photons alors que le détecteur $D_2$ n’en reçoit aucun on dira que les photons se propagent en ligne droite.

Supposons qu’une expérience conduise effectivement au résultat suivant : $D_1$ reçoit des photons et $D_2$ n’en reçoit pas. C’est précisément le critère choisi pour affirmer que les photons ont des trajectoires rectilignes. Il faut cependant remarquer que la précision de la trajectoire est limitée par la largeur de la fente. On ne peut pas exclure a priori la trajectoire pointillée allant de S à $D_1$. Pour le faire, et du même coup améliorer la précision, il faut rétrécir la fente. L’expérience montre qu’alors le détecteur $D_2$ commence à recevoir des photons.

Analysons cette expérience au moyen du PSAP.

Il existe une infinité de chemins allant de la source $S$ au détecteur $D_2$ passant par la fente.

A chacun de ces chemins, on associe une amplitude de probabilité $A$ dont la phase $\Phi$ est déterminée par le chemin optique considéré selon Feynman et al. (1979) :

où $\Phi$ est la phase caractéristique d’un chemin quelconque qui joint un point à un autre.

On admet que la phase $\Phi$ est donnée par :

où $S$ est l’action associée à un chemin.

Pour un photon dans un milieu optique, on admettra que l’action optique est donnée par :

où $E = \hbar \;\omega = \hbar \;c\;k$ est l’énergie du photon (voir (25) du chapitre La lumière), $ds$ l’élément d’intégration curviligne et $n(r)$ l’indice de réfraction dépendant de la position donnée $r$ pour un milieu non homogène.

L’action est donc proportionnelle au chemin optique :

avec :

dans un mileu homogène d’indice $n$ et pour un chemin de longueur de trajet $L$ qu’il soit courbe ou rectiligne.

Pour un photon de fréquence fixée $\omega$ la phase accumulée sur le chemin est donc :

où $k = 2\pi/\lambda$ est le nombre d’onde dans l’air (ou le vide selon le milieu considéré) et $\lambda$ sa longueur d’onde.

On a donc d’après (18) :

Les différents chemins étant indiscernables, il faut appliquer le PSAP. Il faut donc additionner les différentes amplitudes associées à chaque trajet pour obtenir l’amplitude résultante dont le carré du module est proportionnel à la probabilité de collecter un photon.

Si la somme des amplitudes est nulle dans une direction donnée ($\theta$) de $D_2$, il est clair que $D_2$ ne reçoit aucun photon.

Estimons la plus petite valeur de $\theta$ compatible avec cette condition d’amplitude résultante nulle dans la direction $\theta$.

Ainsi si la différence de phase entre les amplitudes associées aux chemins passant par les extrémités de la fente ne dépasse pas $\pi$ , la somme des amplitudes ne peut pas être nulle.

Pour des raisons de simplification, on admettra que les deux chemins possibles représentés en rouge et en bleu sur la Figure 9 sont composés de parties rectilignes. Si $d$ est la largeur de la fente, la différence de marche $\delta$ entre le chemin le plus court (passant par l’extrémité inférieure de la fente Figure 9) et le chemin le plus long est :

Le déphasage entre les deux phases accumulées est donc :

où l’indce de réfraction du milieu considéré, l’air, est pris comme valant 1.

La condition nécessaire pour que $D_2$ ne reçoive pas de photons est donc que $\mathrm{\Delta}\Phi$ dépasse $\pi$

soit un angle minimum $\theta_{\min}$ tel que :

où encore :

L’angle $\theta_{\min}$ le plus petit au-delà duquel que $D_2$ ne reçoit aucun photon est donc :

Des photons arrivent donc dans toutes les directions comprises entre $+ \theta_{\min}$ et $- \theta_{\min}$. Si on diminue la largeur de la fente pour améliorer la précision sur la trajectoire la dispersion angulaire augmente. Ce phénomène est connu en optique sous le nom de diffraction de la lumière. Cette expérience nous montre que la trajectoire des photons n’est pas bien définie car le fait de bien préciser leur position rend leur impulsion indéterminée.

En multipliant par la constante de Planck chaque membre de l’égalité précédente (29) on a :

soit :

L’extension en impulsion est donnée par :

et l’extension spatiale par :

On retrouve donc la valeur inférieure :

de l’inégalité d’Heisenberg :

Ainsi, si on cherche à déterminer la position du photon avec une grande précision pour montrer que sa trajectoire est rectiligne on trouve qu’il a une probabilité non nulle d’arriver dans le détecteur $D_2$, ce qui montre bien que sa trajectoire n’est pas rectiligne et donc que des trajets non rectilignes sont des alternatives dont il faut considérer l’AP.

On peut également interpréter ce résultat à l’aide du PSAP. La différence de marche entre les chemins extrêmes devient plus grande lorsque la fente est élargie. La différence de phase des amplitudes associées devient assez grande pour que l’amplitude résultante s’annule. Il est clair que c’est l’interférence entre les amplitudes de probabilité qui annule la probabilité pour qu’un photon arrive sur $D_2$.

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