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Notion d’états quantiques

Jusqu’à présent les lois de la physique quantique ont été formulées à l’aide du concept d’amplitude de probabilité de transition. Une transition implique toujours une paire d’états. Nous allons voir qu’il est possible de donner une signification physique à chaque état. Il en résultera une grande simplification formelle.

Nous pouvons faire l’analogie avec l’espace ordinaire R3\mathbb{R}^3. La position d’un point dans l’espace peut être donnée par un ensemble de 3 nombres qui sont les coordonnées par rapport à un système d’axes défini au préalable. Le changement de repère associera au point un ensemble de nouvelles coordonnées. Cependant l’utilisation de la notion de vecteur géométrique et les règles de calcul vectoriel permettent de s’affranchir de la référence à un système d’axes ce qui simplifie considérablement les formulations et les raisonnements.

Nous présentons une démarche de ce type dans ce chapitre.

Nous postulons donc que l’état quantique d’un système physique quelconque est caractérisé par un vecteur d’état appartenant à un espace vectoriel linéaire complexe appelé espace des états du système.

Cet espace est un sous-espace d’un espace de Hilbert [43]. Cet état est défini indépendamment de grandeurs physiques observables comme pourraient l’être les positions et les impulsions mécaniques décrivant l’état d’un système décrit selon la mécanique classique. Ceci étant l’état quantique d’un système à instant donné décrit les mesures antérieures que l’on a opérées sur le système et les résultats obtenus lors des mesures car la mesure d’un système perturbe le système et donc modifie son état, l’état étant directement relié aux résultats obtenus lors de la mesure.

La notion d’état d’un système ne peut être disjointe de la façon de le produire ou le préparer. Par exemple, un photon sera dit dans un état de polarisation circulaire gauche s’il vient de traverser un polariseur circulaire gauche.

Espace des états

Notation

Nous avons utilisé une notation selon laquelle l’amplitude de probabilité de transition d’un état Ψ\Psi à un état Φ\Phi est notée ⟨Φ|Ψ⟩\left\langle \Phi \middle| \Psi \right\rangle. Nous montrons que chaque partie de cette formulation possède une signification.

Un vecteur quelconque de l’espace des états noté ε\varepsilon est appelé vecteur ket ou ket. On le note ∣⟩\left| \right\rangle en faisant figurer à l’intérieur un caractère distinctif permettant de différencier cet état des autres :

∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle ket de l’espace des états ε\varepsilon

Remarque

Produit scalaire hermitien

A tout couple de kets ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle et ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle de ε\varepsilon pris dans cet ordre, on associe un nombre complexe qui est leur produit scalaire :

(∣Φ⟩,∣Ψ⟩)\left( \left| \Phi \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right)
(1)

Les propriétés de ce produit scalaire sont :

(∣Φ⟩,λ1∣Ψ1⟩+λ2∣Ψ2⟩)=λ1(∣Φ⟩,∣Ψ1⟩)+λ2(∣Φ⟩,∣Ψ2⟩)\left( \left| \Phi \right\rangle,\lambda_{1}\left| \Psi_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| \Psi_{2} \right\rangle \right) = \lambda_{1}\left( \left| \Phi \right\rangle,\left| \Psi_{1} \right\rangle \right) + \lambda_{2}\left( \left| \Phi \right\rangle,\left| \Psi_{2} \right\rangle \right)
(2)
(λ1∣Φ1⟩+λ2∣Φ2⟩ , ∣Ψ⟩)=(λ1)∗(∣Φ1⟩ , ∣Ψ⟩)+(λ2)∗(∣Φ2⟩ , ∣Ψ⟩)\left( \lambda_{1}\left| \Phi_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| \Phi_{2} \right\rangle \,,\, \left| \Psi \right\rangle \right) = (\lambda_{1})^{*} \left( \left| \Phi_{1} \right\rangle \,,\, \left| \Psi \right\rangle \right) + (\lambda_{2})^{*}\left( \left| \Phi_{2} \right\rangle \,,\, \left| \Psi \right\rangle \right)
(3)
(∣Φ⟩,∣Ψ⟩)=(∣Ψ⟩,∣Φ⟩)∗\left( \left| \Phi \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right) = \left( \left| \Psi \right\rangle,\left| \Phi \right\rangle \right)^{*}
(4)

La norme ∥∣Ψ⟩∥\left\| \left. \left| \Psi \right. \right\rangle \right\| d’un vecteur ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle de ε\varepsilon est définie :

∥∣Ψ⟩∥2=(∣Ψ⟩,∣Ψ⟩)\left\| \left. \left| \Psi \right. \right\rangle \right\|^{2} = \left( \left. \left| \Psi \right. \right\rangle,\left. \left| \Psi \right. \right\rangle \right)
(5)

Espace dual

Définition

La linéarité est définie par :

χ(λ1∣Ψ1⟩+λ2∣Ψ2⟩)=λ1χ(∣Ψ1⟩)+λ2χ(∣Ψ2⟩)\chi\left( \lambda_{1}\left| \Psi_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| \Psi_{2} \right\rangle \right) = \lambda_{1}\chi\left( \left| \Psi_{1} \right\rangle \right) + \lambda_{2}\chi\left( \left| \Psi_{2} \right\rangle \right)
(6)

L’ensemble des fonctionnelles linéaires définies sur ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle ∈\in ε\varepsilon constitue un espace vectoriel que l’on appelle espace dual de ε\varepsilon noté ε∗\varepsilon^*.

Notation bra

Un élément quelconque de ε∗\varepsilon^{*} est appelé vecteur bra ou bra. On le note ⟨∣\left\langle \right| muni d’un signe distinctif permettant de distinguer une fonctionnelle d’une autre. Par exemple ⟨χ∣\left\langle \chi \right| désigne la fonctionnelle linéaire χ\chi et on utilisera la notation ⟨χ|Ψ⟩\left\langle \chi \middle| \Psi \right\rangle pour désigner le nombre obtenu en faisant agir ⟨χ∣\left\langle \chi \right| de ε∗\varepsilon^{*} sur ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle ∈\in ε\varepsilon :

⟨χ|Ψ⟩=χ∣Ψ⟩\left\langle \chi \middle| \Psi \right\rangle = \chi\left| \Psi \right\rangle
(7)

Correspondance entre kets et bras

L’existence d’un produit scalaire dans ε\varepsilon nous permet de montrer qu’à tout ket ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle ∈\in ε\varepsilon, on peut associer un élément de ε∗\varepsilon^{*} c’est-à-dire un bra noté ⟨Φ∣\left\langle \Phi \right|.

En effet le ket ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle nous permet de définir une fonctionnelle linéaire :

Celle qui a tout ket ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle ∈\in ε\varepsilon fait correspondre le nombre complexe égal au produit scalaire (∣Φ⟩,∣Ψ⟩)\left( \left| \Phi \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right) de ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle par ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle. Soit ⟨Φ∣\left\langle \Phi \right| cette fonctionnelle linéaire.

On a donc :

(∣Φ⟩,∣Ψ⟩)=⟨Φ|Ψ⟩\left( \left| \Phi \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right) = \left\langle \Phi \middle| \Psi \right\rangle
(8)

Ainsi les propriétés du produit scalaire énoncées précédemment sont re écrites :

(∣Φ⟩,λ1∣Ψ1⟩+λ2∣Ψ2⟩)=λ1(∣Φ⟩,∣Ψ1⟩)+λ2(∣Φ⟩,∣Ψ2⟩)=λ1⟨Φ|Ψ1⟩+λ2⟨Φ|Ψ2⟩\left( \left| \left. \Phi \right\rangle,\lambda_{1}\left. \left| \Psi_{1} \right. \right\rangle + \lambda_{2}\left. \left| \Psi_{2} \right. \right\rangle \right. \right) =\\ \lambda_{1}\left( \left| \left. \Phi \right\rangle,\left. \left| \Psi_{1} \right. \right\rangle \right. \right) + \lambda_{2}\left( \left| \left. \Phi \right\rangle,\left. \left| \Psi_{2} \right. \right\rangle \right. \right) = \lambda_{1}\left\langle \Phi \middle| \Psi_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left\langle \Phi \middle| \Psi_{2} \right\rangle
(9)
(λ1∣Φ1⟩+λ2∣Φ2⟩,∣Ψ⟩)=λ1∗(∣Φ1⟩,∣Ψ⟩)+λ2∗(∣Φ2⟩,∣Ψ⟩)=λ1∗⟨Φ1|Ψ⟩+λ2∗⟨Φ2|Ψ⟩=(λ1∗⟨Φ1∣+λ2∗⟨Φ2∣)∣Ψ⟩\left( \lambda_{1}\left| \Phi_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| \Phi_{2} \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right) = {\lambda_{1}}^{*}\left( \left| \Phi_{1} \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right) + {\lambda_{2}}^{*}\left( \left| \Phi_{2} \right\rangle,\left| \Psi \right\rangle \right) =\\ {\lambda_{1}}^{*}\left\langle \Phi_{1} \middle| \Psi \right\rangle + {\lambda_{2}}^{*}\left\langle \Phi_{2} \middle| \Psi \right\rangle = \left( {\lambda_{1}}^{*}\left\langle \Phi_{1} \right| + {\lambda_{2}}^{*}\left\langle \Phi_{2} \right| \right)\left| \Psi \right\rangle
(10)
⟨Φ|Ψ⟩=⟨Ψ|Φ⟩∗\left\langle \Phi \middle| \Psi \right\rangle = \left\langle \Psi \middle| \Phi \right\rangle^{*}
(11)

L’anti-linéarité du produit scalaire entraîne que le bra associé au ket :

λ1∣Φ1⟩+λ2∣Φ2⟩\lambda_{1}\left| \Phi_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| \Phi_{2} \right\rangle
(12)

est :

λ1∗⟨Φ1∣+λ2∗⟨Φ2∣{\lambda_{1}}^{*}\left\langle \Phi_{1} \right| + {\lambda_{2}}^{*}\left\langle \Phi_{2} \right|
(13)

puisque la relation donnée ci-dessus est vérifiée pour tout ket ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle ∈\in ε\varepsilon. La correspondance ket ⇝\rightsquigarrow bra appelée conjugaison hermitique est anti-linéaire.

Exercise 1

Calculer le conjugué hermitique :

  • ∣Ψ⟩=3∣0⟩−i∣1⟩\left| \Psi \right\rangle = 3 \left| 0 \right\rangle - i \left| 1 \right\rangle

  • ∣ϕ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩\left| \phi \right\rangle = \alpha \left| 0 \right\rangle + \beta \left| 1 \right\rangle où α,β∈C\alpha, \beta \in \mathbb{C}

  • ∣ψ⟩=(2−i)  α∣0⟩+(1+3i)  β∣1⟩\left| \psi \right\rangle = (2-i)\;\alpha \left| 0 \right\rangle + (1+3i)\; \beta \left| 1 \right\rangle où α,  β∈C\alpha,\; \beta \in \mathbb{C}

Exercise 2

La conjugaison hermitique peut être également représenté comme l’opération (⋅)†\left( \cdot \right)^{\dagger}.

Calculer :

Calculer :

  • (⟨v∣=(1+i)⟨0∣−4⟨1∣)†\left(\left\langle v \right| = (1+i)\left\langle 0 \right| - 4 \left\langle 1 \right| \right)^{\dagger}

  • (⟨u∣=a∗⟨0∣−ib∗⟨1∣)†\left(\left\langle u \right| = a^{*}\left\langle 0 \right| - ib^{*} \left\langle 1 \right| \right)^{\dagger}

Opérateurs linéaires

Un opérateur est un objet mathématique qui à tout vecteur d’un espace vectoriel ε\varepsilon fait correspondre un autre vecteur de cet espace. C’est donc une application de ε\varepsilon sur ε\varepsilon.

Remarque

La notation ∣A^v⟩\left| \widehat{A}\left. v \right\rangle \right. (bien que peu usitée) existe provenant de la notation mathématique du produit scalaire de deux vecteurs vv et ww ∈\in ε\varepsilon espace vectoriel complexe : (w|A(v))\left( w \middle| A(v) \right). Elle est liée à la notation habituelle : ∣A^v⟩=A^∣v⟩\left| \widehat{A}\left. v \right\rangle \right. = \widehat{A}\left| \left. v \right\rangle \right.

Linéarité

Soit A^\widehat{A} un opérateur tel que :

A^∣u1⟩=∣v1⟩\widehat{A}\left| u_{1} \right\rangle = \left| v_{1} \right\rangle et A^∣u2⟩=∣v2⟩\widehat{A}\left| u_{2} \right\rangle = \left| v_{2} \right\rangle.

On dit que A^\widehat{A} est linéaire si :

A^(λ1∣u1⟩+λ2∣u2⟩)=λ1A^∣u1⟩+λ2A^∣u2⟩=λ1∣v1⟩+λ2∣v2⟩\widehat{A}\left( \lambda_{1}\left| u_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| u_{2} \right\rangle \right) = \lambda_{1}\widehat{A}\left| u_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\widehat{A}\left| u_{2} \right\rangle = \lambda_{1}\left| v_{1} \right\rangle + \lambda_{2}\left| v_{2} \right\rangle
(14)

Le produit de deux opérateurs est l’opérateur unique qui les remplace.

Ainsi C^\widehat{C} est le produit des opérateurs A^\widehat{A} et B^\widehat{B} pris dans cet ordre si pour tout ∣φ⟩\left| \left. \varphi \right\rangle \right. ∈\in ε\varepsilon :

A^B^∣φ⟩=C^∣φ⟩\widehat{A}\widehat{B} \left| \left. \varphi \right\rangle \right. = \widehat{C} \left| \left. \varphi \right\rangle \right.

Produit d’opérateur

Soit A^\widehat{A} et B^\widehat{B} deux opérateurs de ε\varepsilon. Le produit des opérateurs A^B^\widehat{A}\widehat{B} agissant sur un ket quelconque ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle de ε\varepsilon est obtenu en faisant agir B^\widehat{B} sur ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle donnant un nouvel état B^∣Ψ⟩\widehat{B}\left| \Psi \right\rangle puis A^\widehat{A} sur ce dernier :

A^B^∣Ψ⟩  =  A^(B^∣Ψ⟩)\widehat{A}\widehat{B} \left| \Psi \right\rangle\;=\;\widehat{A}\left(\widehat{B}\left| \Psi \right\rangle\right)
(15)

L’opérateur produit C^  =  A^B^\widehat{C}\;=\;\widehat{A}\widehat{B} est l’opérateur unique qui remplace A^B^\widehat{A}\widehat{B} et qui agissant sur un ket quelconque ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle de ε\varepsilon donne le même état que l’action de A^B^\widehat{A}\widehat{B} sur ce même état ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle.

Adjoint d’un opérateur

L’adjoint d’un opérateur A^\widehat{A} est l’opérateur noté A^†{\widehat{A}}^{\dagger} qui, dans l’espace dual, établit les mêmes correspondances que A^\widehat{A} dans l’espace des états.

Ainsi l’expression A^∣u1⟩=∣v1⟩\widehat{A}\left| u_{1} \right\rangle = \left| v_{1} \right\rangle implique ⟨u1∣A^†=⟨v1∣\left\langle u_{1} \right|{\widehat{A}}^{\dagger} = \left\langle v_{1} \right|.

L’opérateur se place à gauche du ket ou à droite du bra.

Recherchons qu’elle est l’adjoint d’un produit d’opérateurs.

Posons :

B^A^∣u⟩=B^∣v⟩=∣w⟩\widehat{B}\widehat{A}\left| u \right\rangle = \widehat{B}\left| v \right\rangle = \left| w \right\rangle
(16)

soit :

∣v⟩=A^∣u⟩\left| v \right\rangle = \widehat{A} \left| u \right\rangle
(17)
∣w⟩=B^∣v⟩\left| w \right\rangle = \widehat{B} \left| v \right\rangle
(18)

On dira que C^=B^A^\widehat{C} = \widehat{B}\widehat{A} si pour tout ket de ε\varepsilon :

C^∣u⟩=∣w⟩\widehat{C}\left| u \right\rangle = \left| w \right\rangle.

L’adjoint de C^\widehat{C} est tel que :

⟨w∣=⟨u∣C^†\left\langle w \right| = \left\langle u \right|{\widehat{C}}^{\dagger}
(19)

Or on a d’après (18) :

⟨w∣=⟨v∣B^†\left\langle w \right| = \left\langle v \right|{\widehat{B}}^{\dagger}
(20)

ou encore :

⟨w∣=⟨u∣A^†B^†\left\langle w \right| = \left\langle u \right|{\widehat{A}}^{\dagger}{\widehat{B}}^{\dagger}
(21)

soit en identifiant (19) et (21) :

C^†=(BA)†=A^†B^†{\widehat{C}}^{\dagger} = (BA)^{\dagger} = {\widehat{A}}^{\dagger}{\widehat{B}}^{\dagger}
(22)

L’adjoint d’un produit d’opérateurs est le produit des adjoints pris dans l’ordre inverse.

Opérateur hermitique

Opérateur unitaire

Un opérateur est dit unitaire si :

U^†=U^†U^=1^\widehat{U}^{\dagger}= \widehat{U}^{\dagger}\widehat{U} = \widehat{1}
(23)

Dit autrement puisque l’inverse A^−1{\widehat{A}}^{- 1} d’un opérateur A^\widehat{A} est tel que :

A^A^−1=A^−1A^=1^{\widehat{A} \widehat{A}}^{- 1} = {\widehat{A}}^{- 1}\widehat{A} = \widehat{1}

Un opérateur est dit unitaire si son inverse est égal à son adjoint :

U^†=U^−1{ \widehat{U}}^{\dagger} = {\widehat{U}}^{- 1}
(24)

Une transformation réalisée à l’aide d’un tel opérateur est dite unitaire. Elle possède la propriété remarquable de laisser invariant le produit scalaire. En effet, si on a :

∣X′⟩=U^∣X⟩\left| X' \right\rangle = \widehat{U}\left| X \right\rangle et ∣Y′⟩=U^∣Y⟩\left| Y' \right\rangle = \widehat{U}\left| Y \right\rangle

alors :

⟨Y′|X′⟩=⟨Y∣U^†U^∣X⟩=⟨Y|X⟩\left\langle Y' \middle| X' \right\rangle = \left\langle Y \right|{\widehat{U}}^{\dagger}\widehat{U}\left| X \right\rangle = \left\langle Y \middle| X \right\rangle
(25)

En particulier, la norme d’un vecteur ket (racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même) est invariante lors d’une transformation unitaire.

Transformation d’un opérateur

Soit :

∣Y⟩=A^∣X⟩\left| Y \right\rangle = \widehat{A}\left| X \right\rangle
(26)

Cherchons A^′\widehat{A}' tel que :

∣Y′⟩=A^′∣X′⟩\left| Y' \right\rangle = \widehat{A}'\left| X' \right\rangle
(27)

D’après l’égalité (26) on a :

U^∣Y⟩=U^A^∣X⟩=U^A^U^†U^∣X⟩\widehat{U}\left| Y \right\rangle = \widehat{U}\widehat{A}\left| X \right\rangle = \widehat{U}\widehat{A}{\widehat{U}}^{\dagger}\widehat{U}\left| X \right\rangle
(28)

soit :

∣Y′⟩=U^A^U^†∣X′⟩\left| Y' \right\rangle = \widehat{U}\widehat{A}{\widehat{U}}^{\dagger}\left| X' \right\rangle
(29)

⇒ A^′=U^A^U^†\widehat{A}' = \widehat{U}\widehat{A}{\widehat{U}}^{\dagger}

Élément de matrice d’un opérateur

⟨Y∣A^∣X⟩\left\langle Y \right|\widehat{A}\left| X \right\rangle est un nombre appelé élément de matrice de l’opérateur A^\widehat{A}.

Dans le cas général on a :

⟨Y∣A^∣X⟩=⟨Y|X′⟩=⟨X′|Y⟩∗\left\langle Y \right|\widehat{A}\left| X \right\rangle = \left\langle Y \middle| X' \right\rangle = \left\langle X' \middle| Y \right\rangle^{*}
(30)

soit :

⟨Y∣A^∣X⟩=(⟨X∣A^†∣Y⟩)∗\left\langle Y \right|\widehat{A}\left| X \right\rangle = (\left\langle X \right|\widehat{A}^{\dagger}\left| Y \right\rangle)^{*}
(31)

Si A^\widehat{A} est hermitique on a :

⟨Y∣A^∣X⟩=(⟨X∣A^∣Y⟩)∗\left\langle Y \right|\widehat{A}\left| X \right\rangle = \left( \left\langle X \right|\widehat{A}\left| Y \right\rangle \right)^{*}
(32)

Nous verrons plus loin l’importance des opérateurs hermitiques en physique quantique.

Exercise 3

En utilisant (31), calculer l’adjoint des opérateurs suivants :

  1. A^B=(2−i0i0−303−1){\widehat{A}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 0 & -3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}

  2. B^B=(2−i0i0303−1){\widehat{B}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 0 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}

  3. C^B=(2−i0ia+ib3i0−3i−1)  {\widehat{C}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & a + ib & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\; où a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

  4. D^B=(2202a3i0−3i−1)  {\widehat{D}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & a & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\; où a∈Ra \in \mathbb{R}

  5. E^B=(b202a3i0−3i−1)  {\widehat{E}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} b & 2 & 0 \\ 2 & a & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\; où a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}

Exercise 4

Quelles matrices suivantes représentent un opérateur hermitique ?

  1. A^B=(2−i0i0−303−1){\widehat{A}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 0 & -3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}

  2. B^B=(2−i0i0303−1){\widehat{B}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & 0 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}

  3. C^B=(2−i0ia+ib3i0−3i−1)  {\widehat{C}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & -i & 0 \\ i & a + ib & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\; où a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

  4. D^B=(2202a3i0−3i−1)  {\widehat{D}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & a & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\; où a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

Vecteurs propres et valeurs propres

Soit A^\widehat{A} un opérateur linéaire. Le ket ∣x⟩\left| x \right\rangle est ket propre de A^\widehat{A} si le vecteur A^∣x⟩\widehat{A}\left| x \right\rangle est proportionnel à ∣x⟩\left| x \right\rangle c’est-à-dire si :

A^∣x⟩=λ∣x⟩\widehat{A}\left| x \right\rangle = \lambda\left| x \right\rangle
(33)

λ\lambda est la valeur propre de A^\widehat{A} associée au vecteur propre ∣x⟩\left| x \right\rangle. Si à une valeur propre correspond deux ou plusieurs vecteurs propres, on dit qu’elle est dégénérée. Ces vecteurs engendrent un sous-espace associé à la valeur propre.

Écrivons la relation (33) dans l’espace dual :

⟨x∣A^+=λ∗⟨x∣\left\langle x \right|{\widehat{A}}^{+} = \lambda^{*}\left\langle x \right|
(34)

Les relations (33) et (34) donnent :

⟨x∣A^∣x⟩=λ⟨x|x⟩\left\langle x \right|\widehat{A}\left| x \right\rangle = \lambda\left\langle x \middle| x \right\rangle
(35)
⟨x∣A^+∣x⟩=λ∗⟨x|x⟩\left\langle x \right|{\widehat{A}}^{+}\left| x \right\rangle = \lambda^{*}\left\langle x \middle| x \right\rangle
(36)

Si A^\widehat{A} est un opérateur hermitique (A^=A^+\widehat{A} = {\widehat{A}}^{+}), on a λ=λ∗\lambda = \lambda^{*}. Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont donc réelles.

Considérons deux kets propres ∣x1⟩\left| x_{1} \right\rangle et ∣x2⟩\left| x_{2} \right\rangle du même opérateur hermitique :

A^∣x1⟩=λ1∣x1⟩\widehat{A}\left| x_{1} \right\rangle = \lambda_{1}\left| x_{1} \right\rangle
(37)

(43) A^∣x2⟩=λ2∣x2⟩\widehat{A}\left| x_{2} \right\rangle = \lambda_{2}\left| x_{2} \right\rangle

Dans l’espace dual :

A^\widehat{A} étant un opérateur hermitique (A^=A^+\widehat{A} = {\widehat{A}}^{+}), sa valeur propre est réelle, on peut donc écrire :

⟨x2∣A^=λ2⟨x2∣\left\langle x_{2} \right|\widehat{A} = \lambda_{2}\left\langle x_{2} \right|
(38)

Des relations (37) et (38), on tire :

⟨x2∣A^∣x1⟩=λ1⟨x2|x1⟩\left\langle x_{2} \right|\widehat{A}\left| x_{1} \right\rangle = \lambda_{1}\left\langle x_{2} \middle| x_{1} \right\rangle
(39)
⟨x2∣A^∣x1⟩=λ2⟨x2|x1⟩\left\langle x_{2} \right|\widehat{A}\left| x_{1} \right\rangle = \lambda_{2}\left\langle x_{2} \middle| x_{1} \right\rangle
(40)

En soustrayant ces deux équations, on obtient :

0=(λ1−λ2)⟨x2|x1⟩0 = \left( \lambda_{1} - \lambda_{2} \right)\left\langle x_{2} \middle| x_{1} \right\rangle
(41)

Si λ1≠λ2\lambda_{1} \neq \lambda_{2} cela implique ⟨x2|x1⟩=0\left\langle x_{2} \middle| x_{1} \right\rangle = 0. Ainsi les vecteurs propres d’un opérateur hermitique associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux.

Lors d’un changement de base réalisé au moyen d’une transformation unitaire, l’équation (33) devient :

U^A^∣x⟩=λU^∣x⟩\widehat{U}\widehat{A}\left| x \right\rangle = \lambda\widehat{U}\left| x \right\rangle
(42)

soit :

U^A^U^+U^∣x⟩=λU^∣x⟩\widehat{U}\widehat{A}{\widehat{U}}^{+}\widehat{U}\left| x \right\rangle = \lambda\widehat{U}\left| x \right\rangle
(43)

Or :

∣x′⟩=U^∣x⟩\left| x' \right\rangle = \widehat{U}\left| x \right\rangle et A^′=U^A^U^+\widehat{A}' = \widehat{U}\widehat{A}{\widehat{U}}^{+}

Ainsi, l’équation aux valeurs propres prend la forme :

A^′∣x′⟩=λ∣x′⟩\widehat{A}'\left| x' \right\rangle = \lambda\left| x' \right\rangle
(44)

En conséquence, lors d’une transformation unitaire, les opérateurs et les vecteurs propres sont modifiés mais leurs valeurs propres sont inchangées.

Un changement de base en physique quantique est analogue à un changement de repère en physique classique. Il est évident que toute grandeur physique mesurable doit rester invariante lors d’un changement de base. Les produits scalaires (ou amplitude de probabilité de transition) et les valeurs propres des opérateurs possèdent cette propriété d’invariance. Nous avons vu que les probabilités de transition sont des carrés de modules des produits scalaires. Les valeurs propres représentent les résultats possibles que l’on peut obtenir lors de la mesure d’une grandeur physique.

Bases de l’espace des états

Supposons que l’ensemble {∣uk⟩}\left\{ \left| u_{k} \right\rangle \right\} forme une base de l’espace des états d’un système. Tout état ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle de ce système peut donc être développé sur cette base, c’est-à-dire qu’on peut l’écrire sous la forme :

∣Ψ⟩=∑k=1NCk∣uk⟩\left| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{C_{k}\left| u_{k} \right\rangle}
(45)

La donnée des coefficients du développement ckc_{k} définit complètement l’état du système. La dimension de l’espace NN est le nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants qu’il peut contenir. La dimension de l’espace des états dépend du système étudié et elle peut aller de deux à l’infini. Le développement (45) est une superposition linéaire d'états.

Supposons que les produits scalaires des vecteurs de base vérifient la condition.

$$

⟨uk|ul⟩=δk,l\left\langle u_{k} \middle| u_{l} \right\rangle = \delta_{k,l}
(46)

où δk,l\delta_{k,l} est le delta de Kronecker (sa valeur est 1 si les indices sont égaux et 0 s’ils sont différents).

La norme de chaque vecteur de base est donc 1 et ils sont tous orthogonaux entre eux. On dit alors que la base est orthonormée. Dans la suite nous supposerons toujours que la base utilisée est orthonormée.

On peut trouver les coefficients du développement en projetant l’équation (45) sur un état de base particulier.

⟨ul|Ψ⟩=∑k=1NCk⟨ul|uk⟩\left\langle u_{l} \middle| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{C_{k}\left\langle u_{l} \middle| u_{k} \right\rangle}
(47)

soit :

⟨ul|Ψ⟩=∑k=1NCkδk,l\left\langle u_{l} \middle| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{C_{k}\delta_{k,l}}
(48)

soit :

⟨ul|Ψ⟩=Cl\left\langle u_{l} \middle| \Psi \right\rangle = C_{l}
(49)

Chaque coefficient du développement est donc une amplitude de probabilité de transition de l’état initial à l’un des états de la base. C’est pourquoi ces coefficients sont appelés

amplitude d'états
.

La probabilité pour trouver le système dans l’état ∣ul⟩\left| u_{l} \right\rangle est donc :

Cl∗Cl=⟨Ψ|ul⟩⟨ul|Ψ⟩{C_{l}}^{*}C_{l} = \left\langle \Psi \middle| u_{l} \right\rangle\left\langle u_{l} \middle| \Psi \right\rangle
(50)

Un projecteur P^\widehat{P} est un opérateur hermitique vérifiant la condition :

P^P^=P^2=P^\widehat{P}\widehat{P} = {\widehat{P}}^{2} = \widehat{P}
(51)

La projection du vecteur d’état ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle sur un vecteur de base ∣uj⟩\left| u_{j} \right\rangle est :

P^j∣Ψ⟩=cj∣uj⟩{\widehat{P}}_{j}\left| \Psi \right\rangle = c_{j}\left| u_{j} \right\rangle
(52)

avec cj=⟨uj|Ψ⟩c_{j} = \left\langle u_{j} \middle| \Psi \right\rangle.

On a donc :

P^j∣Ψ⟩=∣uj⟩⟨uj|Ψ⟩{\widehat{P}}_{j}\left| \Psi \right\rangle = \left| u_{j} \right\rangle\left\langle u_{j} \middle| \Psi \right\rangle ∀  ∣Ψ⟩\forall\;\left| \Psi \right\rangle

soit :

P^j=∣uj⟩⟨uj∣{\widehat{P}}_{j} = \left| u_{j} \right\rangle\left\langle u_{j} \right|
(53)

Une somme de tels projecteurs peut être considérée comme un projecteur sur le sous-espace engendré par les vecteurs inclus dans la somme. Si tous les vecteurs de la base sont inclus on obtient l’opérateur identité :

Exercise 5

Le développement de ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle sur une base {∣ui⟩,i=1...  N}\left\{ \left| u_{i} \right\rangle,i = 1...\; N \right\} est :

∣Φ⟩=∑k=1Nbk∣uk⟩\left| \Phi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{b_{k}\left| u_{k} \right\rangle}

Calculer la norme de l’état ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle et normaliser l’état.

Réciproquement, tout ensemble de vecteurs orthonormés vérifiant la relation de fermeture forment une base pour l’espace des états

Considérons le produit scalaire du vecteur d’état par lui-même dans le cas où il serait normé à l’unité (∥∣Ψ⟩∥2=⟨Ψ|Ψ⟩=1\left\| \left| \left. \Psi \right\rangle \right. \right\|^{2} = \left\langle \Psi \middle| \Psi \right\rangle = 1). On a alors :

⟨Ψ|Ψ⟩=1\left\langle \Psi \middle| \Psi \right\rangle = 1
(55)

En appliquant la relation de fermeture on obtient :

⟨Ψ∣1^∣Ψ⟩=∑k=1N⟨Ψ|uk⟩⟨uk|Ψ⟩\left\langle \Psi \right|\widehat{1}\left| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{\left\langle \Psi \middle| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle}
(56)

Soit :

⟨Ψ|Ψ⟩=∑k=1Nckck∗\left\langle \Psi \middle| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{c_{k}{c_{k}}^{*}}
(57)

Or le nombre réel ck∗ckc_{k}^{*}c_{k} représente la probabilité de transition du système de l’état ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle vers l’état ∣uk⟩\left| u_{k} \right\rangle. Il est donc nécessaire d’utiliser un vecteur d’état de norme 1 pour que la condition de normalisation des probabilités soit satisfaite.

Ce type d’opérateur joue un rôle capital en théorie quantique.

Représentation matricielle

En adoptant certaines conventions, tous les calculs de la théorie quantique se ramènent aux opérations familières de l’algèbre linéaire.

En appliquant les règles du produit matriciel, on retrouve l’expression du produit scalaire dans une base donnée.

Si A^\widehat{A} est un opérateur ⟨uj∣A^∣uk⟩\left\langle u_{j} \right|\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle est un nombre qui dépend de deux indices. On dit que c’est un élément de matrice :

⟨uj∣A^∣uk⟩=Aj,k\left\langle u_{j} \right|\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle = A_{j,k}
(60)

que l’on noteta :

A^{∣ui⟩}=(A11...A1N...AN1ANN){\widehat{A}}_{\left\{ \left| u_{i} \right\rangle \right\}} = \begin{pmatrix} A_{11} & ... & A_{1N} \\ ... & & \\ A_{N1} & & A_{NN} \end{pmatrix}
(62)
Exercise 6

Soient les représentations matricielles de E^\widehat{E} et ∣ϕ⟩\left| \phi \right\rangle dans la base B\mathcal{B} :

E^B=(b202a3i0−3i−1)  {\widehat{E}}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} b & 2 & 0 \\ 2 & a & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\; où a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}

∣ϕ⟩B=(αβγ){\left| \phi \right\rangle}_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}

  1. Calculer la représentation matricielle dans la base B\mathcal{B} du ket E^∣ϕ⟩\widehat{E} \left| \phi \right\rangle.

  2. Calculer la représentation matricielle du conjugué hermitique du ket E^∣ϕ⟩\widehat{E} \left| \phi \right\rangle.

  3. Calculer la représentation matricielle du bra ⟨ϕ∣B†\left\langle \phi \right|\mathcal{B}^{\dagger}.

  4. Conclusion ?

Exercise 7

On considère un espace des états ϵ\epsilon de dimension 3, muni de la base orthonormée :

B={∣e1⟩,∣e2⟩,∣e3⟩}\mathcal{B} = \{\lvert e_1\rangle, \lvert e_2\rangle, \lvert e_3\rangle \}

Un opérateur linéaire A^\hat{A} est défini par son action sur les vecteurs de base :

A^∣e1⟩=2∣e1⟩+∣e2⟩\hat{A}\lvert e_1\rangle = 2\lvert e_1\rangle + \lvert e_2\rangle

A^∣e2⟩=−∣e1⟩+3∣e3⟩\hat{A}\lvert e_2\rangle = -\lvert e_1\rangle + 3\lvert e_3\rangle

A^∣e3⟩=∣e2⟩−∣e3⟩\hat{A}\lvert e_3\rangle = \lvert e_2\rangle - \lvert e_3\rangle

Calculer la représantation matricielle de l’opérateur A^\hat{A} dans la base {∣e1⟩,∣e2⟩,∣e3⟩}\{\lvert e_1\rangle, \lvert e_2\rangle, \lvert e_3\rangle \}.

Considérons l’équation :

∣Φ⟩=A^∣Ψ⟩\left| \Phi \right\rangle = \widehat{A}\left| \Psi \right\rangle
(63)

On projette (63) sur un vecteur de base :

⟨uj|Φ⟩=⟨uj∣A^∣Ψ⟩      j=1,  2,...  N\left\langle u_{j} \middle| \Phi \right\rangle = \left\langle u_{j} \right|\widehat{A}\left| \Psi \right\rangle\;\;\;j = 1,\; 2,...\; N
(64)

En appliquant la relation de fermeture :

⟨uj|Φ⟩=∑k=1N⟨uj∣A^∣uk⟩⟨uk|Ψ⟩\left\langle u_{j} \middle| \Phi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{\left\langle u_{j} \right|\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle}
(65)

Si le développement de ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle sur {∣ui⟩,i=1...  N}\left\{ \left| u_{i} \right\rangle,i = 1...\; N \right\} est :

∣Φ⟩=∑k=1Nbk∣uk⟩\left| \Phi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{b_{k}\left| u_{k} \right\rangle}
(66)

On a :

bj=∑k=1NAjkckb_{j} = \sum_{k = 1}^{N}{A_{jk}c_{k}}
(67)

Cela signifie que la matrice colonne représentant ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle est obtenue en multipliant la matrice carrée représentant A^\widehat{A} par la matrice colonne représentant ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle.

L’élément de matrice d’un produit de deux opérateurs est :

⟨uj∣A^B^∣uk⟩=∑i=1N⟨uj∣A^∣ui⟩⟨ui∣B^∣uk⟩\left\langle u_{j} \right|\widehat{A}\widehat{B}\left| u_{k} \right\rangle = \sum_{i = 1}^{N}{\left\langle u_{j} \right|\widehat{A}\left| u_{i} \right\rangle\left\langle u_{i} \right|\widehat{B}\left| u_{k} \right\rangle}
(68)

La matrice représentant un produit d’opérateurs est donc le produit des matrices qui représentent chacun d’eux.

La polarisation du photon est un degré de liberté interne. L’espace des états de polarisation est de dimension 2. On peut choisir comme états de base les états de polarisations rectilignes ∣X⟩\left| X \right\rangle et ∣Y⟩\left| Y \right\rangle.

∣Ψ⟩{∣X⟩,∣Y⟩}=(⟨X|Ψ⟩⟨Y|Ψ⟩)\left| \Psi \right\rangle_{\left\{ \left| X \right\rangle,\left| Y \right\rangle \right\}} = \begin{pmatrix} \left\langle X \middle| \Psi \right\rangle \\ \left\langle Y \middle| \Psi \right\rangle \end{pmatrix}
(69)

avec :

∣X⟩{∣X⟩,∣Y⟩}=(⟨X|X⟩⟨Y|X⟩)=(10)\left| X \right\rangle_{\left\{ \left| X \right\rangle,\left| Y \right\rangle \right\}} = \begin{pmatrix} \left\langle X \middle| X \right\rangle \\ \left\langle Y \middle| X \right\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
(70)

et :

∣Y⟩{∣X⟩,∣Y⟩}=(⟨X|Y⟩⟨Y|Y⟩)=(10)\left| Y \right\rangle_{\left\{ \left| X \right\rangle,\left| Y \right\rangle \right\}} = \begin{pmatrix} \left\langle X \middle| Y \right\rangle \\ \left\langle Y \middle| Y \right\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
(71)
Exercise 8

Considérons l’espace des états ε\varepsilon de dimension 3 muni de la base {∣ei⟩}\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\} avec i=1,2,3i=1,2,3.

Soit l’observable A^\widehat{A} :

A^{∣ei⟩}=(210131012)  {\widehat{A}}_{\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\; où a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}

  1. Vérifier que A^\widehat{A} est hermitique.

  2. Rappeler les deux propriétés d’un opérateur hermitique.

  3. Calculer le polynôme caractéristique det(A^−λI^)\mathcal{det}\left( \widehat{A} - \lambda \widehat{I} \right)

  4. En déduire les valeurs propres λi\lambda_i de A^\widehat{A} classées par valeurs décroissantes.

  5. Pour chaque valeur propre λi\lambda_i, déterminer le vecteur propre associé par résolution de A^vi=λivi\widehat{A} v_i =\lambda_i v_i. On normalisera à l’unité chaque vecteur propre.

  6. A partir des représentations matricielles des vecteurs propres dans la base {∣ei⟩}\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\}, montrer matriciellement qu’ils vérifient la relation de fermeture.

  7. Donner la représentation matricielle de l’observable A^\widehat{A} dans la base de ses états propres {∣vi⟩}\left\{ \left| v_{i} \right\rangle \right\}.

  8. La décomposition spectrale de A^\widehat{A} s’écrit : A^=∑i=13λi∣vi⟩⟨vi∣\widehat{A} = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i \left| v_{i} \right\rangle \left\langle v_{i} \right|. Montrer que l’action de cette décomposition sur chaque vecteur propre est conforme à la notion de vecteur propre.

  9. Donner la représentation matricielle de A^=∑i=13λi∣vi⟩⟨vi∣\widehat{A} = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i \left| v_{i} \right\rangle \left\langle v_{i} \right| dans la base des états {∣ei⟩}\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\}. Conclusion.

  10. Soit S^\widehat{S} la matrice unitaire formée par les vecteurs propres colonne v1v_1, v2v_2 et v3v_3 et S^T\widehat{S}^{T} sa transposée. Calculer le produit matricielle S^TA^S^\widehat{S}^{T}\widehat{A}\widehat{S}.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import linalg

# array 3x3 représentant l'observable A
A = np.array([[2,1,0],[1,3,1],[0,1,2]])
print("array 3x3 représentant l'observable A :")
print(A)

# transposé de A
TA = A.T
print("# transposé de A :")
print(TA)

# calcul des valeurs propres et des vecteurs propres de A
S = np.linalg.eig(A)


print("affichage de S, S[0] contient les valeurs propres, S[1] contient les vecteurs propres :")
print(S)

TeigVectors  = S[1].T # transposé du array des vecteurs propres
eigVectors  = S[1] # array des vecteurs propres

print("array des vecteurs propres : ")
print(eigVectors)

print("transposé du array des vecteurs propres :")
print(TeigVectors)

# calcul de S.T * A * S
AD = TeigVectors.dot(A).dot(eigVectors)
print("S.T *A * S : ")
AD = TeigVectors.dot(A).dot(eigVectors)
print(AD)

Amplitudes de localisation

Si à tt une particule est « dans l’état ∣Ψ(t)⟩\left| \Psi(t) \right\rangle » (décrit par l’état ∣Ψ(t)⟩\left| \Psi(t) \right\rangle) son amplitude de localisation à l’abscisse est :

⟨x|Ψ(t)⟩=Ψ(x,t)\left\langle x \middle| \Psi(t) \right\rangle = \Psi(x,t)
(72)

Contrairement au cas où les états pourraient être repérés par un indice discret, on a besoin d’une infinité d’amplitude pour définir complètement l’état du système. On peut considérer que l’amplitude de localisation est une fonction de deux variables et qui s’appelle la fonction d’onde.

Dans le cas d’une variable aléatoire continue, il est impossible d’attribuer une probabilité finie à chaque valeur précise de celle-ci. Il faut plutôt attribuer une probabilité à un intervalle de valeurs de la variable. On définit la densité de probabilité g(x,t)g(x,t) à partir de la probabilité infinitésimale de trouver la particule à l’instant tt entre xx et x+dxx + dx :

dP(x,x+dx,t)=g(x,t)dxdP(x,x + dx,t) = g(x,t)dx
(73)

La probabilité pour que la variable prenne une valeur comprise entre x1x_{1} et x2x_{2} est :

P(x1,x2,t)=∫x1x2g(x,t)dxP\left( x_{1},x_{2},t \right) = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{g(x,t)dx}
(74)

La condition de normalisation des probabilités s’écrit donc :

∫−∞+∞g(x,t)dx=1\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,t)dx} = 1
(75)

Puisque la probabilité est un nombre sans dimension, la densité de probabilité a la dimension inverse de la variable xx.

La densité de probabilité est liée à l’amplitude de localisation :

g(x,t)=∣⟨x|Ψ(t)⟩∣2=Ψ∗(x,t)Ψ(x,t)g(x,t) = \left| \left\langle x \middle| \Psi(t) \right\rangle \right|^{2} = \Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t)
(76)

La densité de probabilité de présence est donc le module au carré de la fonction d’onde.

et la condition de normalisation des probabilités s’écrit :

∫−∞+∞Ψ∗(x,t)Ψ(x,t)  dx=1\int_{- \infty}^{+ \infty}{\Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t)\; dx} = 1
(77)

ou bien :

∫−∞+∞⟨Ψ(t)|x⟩⟨x|Ψ(t)⟩  dx=1\int_{- \infty}^{+ \infty}{\left\langle \Psi(t) \middle| x \right\rangle\left\langle x \middle| \Psi(t) \right\rangle\; dx} = 1
(78)

Si cette condition est remplie Ψ(x,t)\Psi(x,t) est dite normalisée à l’unité.

Si :

∫−∞+∞∣⟨x|Ψ(t)⟩∣2  dx=C\int_{- \infty}^{+ \infty}{\left| \left\langle x \middle| \Psi(t) \right\rangle \right|^{2}\; dx} = C
(79)

Lorsque CC est finie, Ψ(x,t)\Psi(x,t) est une fonction d'onde de carré sommable. On peut alors la normaliser à l’unité en divisant par C\sqrt{C}. Pour que l’intégrale converge, il est nécessaire que le module de Ψ(x,t)\Psi(x,t) tende vers 0 aux grandes distances. La particule est donc localisée dans une région finie de l’espace. Elle se trouve dans un état lié. Nous verrons que son énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes.

Postulats de la théorie quantiques

Cinq postulats permettent de donner un contenu au formalisme de la physique quantique.

Ainsi le postulat 1°) signifie que la donnée de ∣Ψ(t)⟩\left| \Psi(t) \right\rangle permet de fournir une réponse à toute question posée expérimentalement.

2°) Une observable est un opérateur hermitique dont les vecteurs propres forment une base pour l’espace des états.

4°) La probabilité pour trouver une valeur propre particulière se confond avec la probabilité pour trouver le système dans l’état propre correspondant.

Supposons que les kets {∣uk⟩  k=1,...N}\left\{ \left| u_{k} \right\rangle\; k = 1,...N \right\} soient kets propres de A^\widehat{A} avec les valeurs propres de aka_{k} :

⟨Ψ∣A^∣Ψ⟩=∑i=1N⟨Ψ∣A^∣uk⟩⟨uk|Ψ⟩=∑i=1Nak⟨Ψ|uk⟩⟨uk|Ψ⟩\left\langle \Psi \right|\widehat{A}\left| \Psi \right\rangle = \sum_{i = 1}^{N}{\left\langle \Psi \right|\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle} = \sum_{i = 1}^{N}{a_{k}\left\langle \Psi \middle| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle}
(82)

d’où : ⟨Ψ∣A^∣Ψ⟩=∑i=1NakP(ak)\left\langle \Psi \right|\widehat{A}\left| \Psi \right\rangle = \sum_{i = 1}^{N}{a_{k}P\left( a_{k} \right)}

où P(ak)P\left( a_{k} \right) est la probabilité de trouver la valeur propre aka_{k}. Le nombre correspondant est donc la valeur moyenne de la grandeur physique représentée par l’observable A^\widehat{A} dans l’état ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle.

⟨A^⟩Ψ=⟨Ψ∣A^∣Ψ⟩\left\langle \widehat{A} \right\rangle_{\Psi} = \left\langle \Psi \right|\widehat{A}\left| \Psi \right\rangle
(83)

Mesure de deux grandeurs physiques

Le processus de mesure perturbe le système et peut provoquer un changement d’état du système étudié. Le seul cas pour lequel le résultat peut être prédit avec certitude est celui pour lequel le système est déjà dans un état propre de l’observable correspondant à la grandeur physique mesurée. En effet si :

∣Ψ⟩=∣uk⟩\left. \left| \Psi \right. \right\rangle = \left. \left| u_{k} \right. \right\rangle
(84)

tous les autres coefficients de développement sur les états ∣ul⟩\left. \left| u_{l} \right. \right\rangle (l≠kl \neq k) sont nuls. En conséquence une répétition de la mesure immédiatement après la première mesure donnera avec certitude le même résultat. L’immédiateté a une importance car le système pourrait évoluer (s’il n’était pas parfaitement isolé) et ne pas rester dans l’état ∣uk⟩\left. \left| u_{k} \right. \right\rangle.

S’il est nul on a A^B^=B^A^\widehat{A}\widehat{B} = \widehat{B}\widehat{A} et on dit que les observables commutent.

Soit ∣Φ⟩\left. \left| \Phi \right. \right\rangle un ket propre de A^\widehat{A} associé à la valeur propre aa :

A^∣Φ⟩=a∣Φ⟩\widehat{A}\left| \Phi \right\rangle = a\left| \Phi \right\rangle
(86)

et :

B^A^∣Φ⟩=aB^∣Φ⟩\widehat{B}\widehat{A}\left| \Phi \right\rangle = a\widehat{B}\left| \Phi \right\rangle
(87)

Si A^\widehat{A} et B^\widehat{B} commutent on peut donc écrire :

A^B^∣Φ⟩=aB^∣Φ⟩\widehat{A}\widehat{B}\left| \Phi \right\rangle = a\widehat{B}\left| \Phi \right\rangle
(88)

B^∣Φ⟩\widehat{B}\left| \Phi \right\rangle est ket propre de A^\widehat{A} associé à la valeur propre aa. Or par hypothèse, il y a un seul ket propre de A^\widehat{A} correspondant à cette valeur propre. ∣Φ⟩\left| \Phi \right\rangle et B^∣Φ⟩\widehat{B}\left| \Phi \right\rangle sont proportionnels c’est-à-dire :

B^∣Φ⟩=b∣Φ⟩\widehat{B}\left| \Phi \right\rangle = b\left| \Phi \right\rangle
(89)

Ainsi le ket propre de A^\widehat{A} est aussi ket propre de B^\widehat{B}. La même conclusion s’applique à chacun des kets propres de A^\widehat{A} qui par hypothèse forment une base de l’espace des états. On peut donc conclure que si A^\widehat{A} et B^\widehat{B} commutent, ils possèdent une base commune de vecteurs propres.

Il est facile de montrer que réciproquement si A^\widehat{A} et B^\widehat{B} ont une base de vecteurs propres communs, ils commutent. On a alors :

A^∣uk⟩=ak∣uk⟩\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle = a_{k}\left| u_{k} \right\rangle
(90)
B^∣uk⟩=bk∣uk⟩\widehat{B}\left| u_{k} \right\rangle = b_{k}\left| u_{k} \right\rangle
(91)

Soit ∣Ψ⟩\left| \Psi \right\rangle un ket quelconque de ε\varepsilon. On peut dire que A^\widehat{A} et B^\widehat{B} commutent si la relation

A^B^∣Ψ⟩=B^A^∣Ψ⟩\widehat{A}\widehat{B}\left| \Psi \right\rangle = \widehat{B}\widehat{A}\left| \Psi \right\rangle
(92)

est toujours vérifiée.

Or par hypothèse :

A^B^∣uk⟩=A^(bk∣uk⟩)=akbk∣uk⟩\widehat{A}\widehat{B}\left| u_{k} \right\rangle = \widehat{A}\left( b_{k}\left| u_{k} \right\rangle \right) = a_{k}b_{k}\left| u_{k} \right\rangle
(93)
B^A^∣uk⟩=B^(ak∣uk⟩)=akbk∣uk⟩\widehat{B}\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle = \widehat{B}\left( a_{k}\left| u_{k} \right\rangle \right) = a_{k}b_{k}\left| u_{k} \right\rangle
(94)

La relation de fermeture permet d’écrire :

A^B^∣Ψ⟩=∑k=1NA^B^∣uk⟩⟨uk|Ψ⟩=∑k=1Nakbk∣uk⟩⟨uk|Ψ⟩\widehat{A}\widehat{B}\left| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{\widehat{A}\widehat{B}\left| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle} = \sum_{k = 1}^{N}{a_{k}b_{k}\left| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle}
(95)

et

B^A^∣Ψ⟩=∑k=1NB^A^∣uk⟩⟨uk|Ψ⟩=∑k=1Nbkak∣uk⟩⟨uk|Ψ⟩\widehat{B}\widehat{A}\left| \Psi \right\rangle = \sum_{k = 1}^{N}{\widehat{B}\widehat{A}\left| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle} = \sum_{k = 1}^{N}{b_{k}a_{k}\left| u_{k} \right\rangle\left\langle u_{k} \middle| \Psi \right\rangle}
(96)

On peut donc conclure que si les observables A^\widehat{A} et B^\widehat{B} ont une base de vecteurs propres communs ils commutent.

Soient A^\widehat{A} et B^\widehat{B} deux observables qui commutent. Supposons que la mesure de la grandeur physique représentée par A^\widehat{A} donne le résultat aka_{k}. L’état du système immédiatement après la mesure est ∣uk⟩\left| u_{k} \right\rangle. Or cet état est ket propre de l’observable B^\widehat{B} avec comme valeur propre bkb_{k}. La mesure de la grandeur physique correspondante effectuée immédiatement après celle qui est représentée par A^\widehat{A} donne avec certitude le résultat bkb_{k} et l’état du système reste ∣uk⟩\left| u_{k} \right\rangle.

Des nouvelles mesures de ces grandeurs donneront les mêmes résultats. On dit alors que ces grandeurs physiques sont compatibles.

Si les observables associées à deux grandeurs physiques ne commutent pas leurs vecteurs propres sont en général différents et les résultats obtenus [en mesurant successivement ces deux grandeurs dépendent de l’ordre dans lequel on fait la mesure]. Si la grandeur associée à A^\widehat{A} est mesurée d’abord et le résultat obtenu est aka_{k}, l’état du système immédiatement après cette mesure est ∣uk⟩\left| u_{k} \right\rangle. En général il n’est pas un état propre de B^\widehat{B}. Si ∣vj⟩\left| v_{j} \right\rangle l’est, il n’est pas en général un état propre de A^\widehat{A}. Une nouvelle mesure de cette grandeur ne donne donc pas nécessairement le même résultat que la première. Ainsi l’information obtenue dans une mesure peut être détruite en mesurant une grandeur incompatible.

Footnotes

  1. Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien séparé et complet. Un espace préhilbertien est un espace vectoriel sur C\mathbb{C} (ou R\mathbb{R}) muni d’une forme sesquilinéaire (anti-linéaire par rapport au premier vecteur et linéaire par rapport au second) auto-adjointe. Lorsque cette forme est définie positive, il s’agit d’un produit scalaire hermitien et cet espace devient un espace préhilbertien séparé.

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Probabilités et amplitudes quantiques
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Opérateur d'évolution et équation de Schrödinger