Corrections des exercices

1. $x'=x -\frac{w}{k}dt$

2. sens : vers les $x$ positifs

$h\nu$ étant une quantité positive, $+\left(E_f-E_i\right)$ est par voie de conséquence positive. Les énergies étant négatives, cela implique que l’énergie $|E_i|>|E_f|$ est donc que l’énergie finale du fait de l’absorption du photon est plus grande que l’énergie intiale.

$\left[ \hbar \right] = M L^2 T^{-1}$

$\frac{F_{c}}{F_{G}} = \frac{\left(1,602 \times 10^{-19}\right)^2}{\left(4\;\pi\;8,854\times 10^{-12}\;6,6742 \times 10^{- 11}\;1,673 \times 10^{- 27}\;9,109 \times 10^{- 31} \right)} = 2,3 \times 10^{39}$.

Ainsi la force de Coulomb est de 39 ordres de grandeur fois plus importante que l’attraction gravitationnelle proton-électron.

$\frac{m_e e^{4}}{8\epsilon_{0}^{2}h^{3}c}$

1. $\left\langle|x| \right\rangle = \int_{-\infty}^{+-\infty}|x|\rho(x)dx = \frac{2}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+-\infty}x\exp \left(\frac{-x^{2}}{2\sigma^2}\right) dx$
   soit (après changement de variable) :
   $\left\langle|x| \right\rangle = \sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}$

2. $\sqrt{\frac{2}{\pi}} \approx 0,8$

1. $\left| \alpha \right|^{2} = 5$

2. $\left| \alpha \right|^{2} = 5$ n’est pas une probabilité. Cette dernière doit être comprise entre 0 et 1.

3. Si on prend $\left| N \alpha \right|^{2} = 1$ alors $\left| N \alpha \right|^{2} = \left| N \right|^{2} \left|\alpha \right|^{2} = 1$ donne $\left| N \alpha \right| = \frac{1}{\sqrt{5}}$

1. $\alpha^{*} \beta = -1 -5i$

2. Interprétation : $\alpha^{*} \beta$ peut correspondre au produit scalaire de deux états de l’espace des états $\epsilon$ de dimension 1.

3. $\left| \alpha^{*} \beta \right| = 26$. L’angle de référence est $\arctan(5/1)$ et l’argument est dans le troisième quadrant ($\Re (\alpha^{*} \beta)= -1$ et $\Im (\alpha^{*} \beta)= -5$) donc $\arg(\alpha^{*} \beta) = \pi +\arctan(5/1)$.

1. $\Re (A)= 2 \cos{\phi} - \sin{\phi} +1$ et $\Im (A)= 2 \sin{\phi} + \cos{\phi} - 1$

2. $\left| A \right|^{2} = 9$ pour $\phi = 0$.

3. $\left| A \right|^{2} = 1$ pour $\phi = \pi /2$.

4. $\left| A \right|^{2} = 5$ pour $\phi = \pi$.

5. Pour $\phi = 0$ les contributions s’ajoutent fortement (probabilité relative maximale). Pour $\phi = \pi /2$, l’interférence est moins constructive, la probabilité est plus faible.

• $\left\langle \Psi \right| = 3 \left\langle 0 \right|+i\left\langle 1\right|$

• $\left\langle \phi \right| = \alpha^{*} \left\langle 0 \right|+ \beta^{*} \left\langle 1\right|$

• $\left\langle \psi \right| = (2+i)\alpha^{*} \left\langle 0 \right|+ (1-3i) \beta^{*} \left\langle 1\right|$

• $\left| w \right\rangle = (1-i) \left| 0 \right\rangle - 4 \left| 1 \right\rangle$

• $\left| u \right\rangle = a \left| 0 \right\rangle + ib \left| 1 \right\rangle$

1. ${\widehat{A}}^{\dagger}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & i & 0 \\ -i & 0 & -3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

2. ${\widehat{B}}^{\dagger}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & i & 0 \\ -i & 0 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

3. ${\widehat{C}}^{\dagger}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & i & 0 \\ -i & a - ib & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\;$ où $a, b \in \mathbb{R}$

4. ${\widehat{D}}^{\dagger}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & a & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\;$ où $a, b \in \mathbb{R}$

5. ${\widehat{E}}^{\dagger}_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} b^{*} & 2 & 0 \\ 2 & a^{*} & 3i \\ 0 & -3i & -1 \end{pmatrix}\;$ où $a, b \in \mathbb{C}$

1. non

2. non

3. non

4. oui

1. $\widehat{E} \left| \phi \right\rangle =\begin{pmatrix} b \alpha + 2\beta \\ 2 \alpha + a\beta + 3i\gamma\\ -3i\beta+\gamma \end{pmatrix}$

2. $\begin{pmatrix} b^{*} \alpha^{*} + 2\beta^{*} & 2 \alpha^{*} + a^{*}\beta^{*} - 3i\gamma^{*} & 3i\beta^{*}+\gamma^{*} \end{pmatrix}$

3. $\begin{pmatrix} b^{*} \alpha^{*} + 2\beta^{*} & 2 \alpha^{*} + a^{*}\beta^{*} - 3i\gamma^{*} & 3i\beta^{*}+\gamma^{*} \end{pmatrix}$

4. identiques

1. $\mathcal{det}\left( \widehat{A} - \lambda \widehat{I} \right)=\left( 2-\lambda\right)\left(\lambda^2-5\lambda+4\right)=\left( 2-\lambda\right)\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-4\right)$

2. $\lambda_1=4$, $\lambda_2=2$ et $\lambda_3=1$

3. $\left| v_{1} \right\rangle_{\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\left| v_{2} \right\rangle_{\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ et $\left| v_{3} \right\rangle_{\left\{ \left| e_{i} \right\rangle \right\}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

4. ${\widehat{A}}_{\left\{ \left| v_{i} \right\rangle \right\}} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

• $\widehat{H}_{\left\{ \left| 0 \right\rangle, \left| 1 \right\rangle \right\}}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \hbar \omega \end{pmatrix}$

• Les valeurs propres sont 0 et $\hbar \omega$ respectivement associées aux vecteurs propres :
  $\left| 0 \right\rangle_{\left\{ \left| 0 \right\rangle, \left| 1 \right\rangle \right\}}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
  et :
  $\left| 1 \right\rangle_{\left\{ \left| 0 \right\rangle, \left| 1 \right\rangle \right\}}= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

• $\left| \Psi(t) \right\rangle = \alpha e^{0} \left| 1 \right\rangle + \beta e^{-i \omega t} \left| 1 \right\rangle$

• $\left|\beta \right|^{2}$